[論文レビュー] Random polymers via orthogonal Whittaker and symplectic Schur functions

Elia Bisi|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Oct 8, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、KPZ普遍性クラスに属する可積分確率モデル——特に対数ガンマポリマーと最終到達時間パーコレーション——と特殊関数の間の正確な関係を確立する。ポリマーに対しては直交Whittaker関数、最終到達時間パーコレーションに対してはシミプレクティックSchur関数が関与する。幾何的RSK対応を用いて、分配関数のラプラス変換をWhittaker関数の形で導出し、スケーリング極限によりGOE Tracy-Widom分布およびAiry₂→₁分布が得られる。

ABSTRACT

This thesis deals with some $(1+1)$-dimensional lattice path models from the KPZ universality class: the directed random polymer with inverse-gamma weights (known as log-gamma polymer) and its zero temperature degeneration, i.e. the last passage percolation model, with geometric or exponential waiting times. We consider three path geometries: point-to-line, point-to-half-line, and point-to-line with paths restricted to stay in a half-plane. Through exact formulas, we establish new connections between integrable probabilistic models and the ubiquitous Whittaker and Schur functions. More in detail, via the use of A. N. Kirillov's geometric Robinson-Schensted-Knuth (RSK) correspondence, we compute the Laplace transform of the polymer partition functions in the above geometries in terms of orthogonal Whittaker functions. In the case of the first two geometries we also provide multiple contour integral formulas. For the corresponding last passage percolation problems, we obtain new formulas in terms of symplectic Schur functions, both directly via RSK on polygonal arrays and via zero temperature limit from the log-gamma polymer formulas. As scaling limits of the point-to-line and point-to-half-line models with exponential waiting times, we derive Sasamoto's Fredholm determinant formula for the GOE Tracy-Widom distribution, as well as the one-point marginal distribution of the ${ m Airy}_{2 o1}$ process.

研究の動機と目的

• 点対線、点対半直線、制限付きポリマー・モデルと直交Whittaker関数およびシミプレクティックSchur関数を結ぶ正確な公式を確立すること。
• 幾何的RSK対応およびWhittaker関数を用いて、ポリマー分配関数のラプラス変換を導出すること。
• 点対線および点対半直線幾何における分配関数の、新たな多重コーシー積分表示を導出すること。
• 指数型最終到達時間パーコレーションモデルのスケーリング極限から、GOE Tracy-Widom分布およびAiry₂→₁過程分布が得られることを導出すること。
• KPZクラスに属する確率的モデルと、Whittaker関数およびSchur関数などの表現論的対象を統一すること。

提案手法

• ポリマー経路配置をGelfand-TsetlinパターンおよびWhittaker関数に写像するため、幾何的RSK対応を用いる。
• $rak{gl}_n$-および$rak{so}_{2n+1}$-Whittaker関数の再帰的積分表現を用いて、分配関数のラプラス変換を導出する。
• Whittaker関数のコーシー積分公式を適用し、点対線および点対半直線幾何における分配関数を表現する。
• 対数ガンマポリマー・モデルにゼロ温度極限を適用し、シミプレクティックSchur関数による公式を持つ最終到達時間パーコレーションモデルを導出する。
• Fredholm行列式の勾配降下解析を実行し、スケーリング極限における漸近的分布を抽出する。
• Ishii-Stadeパrametrizationおよび積分恒等式を用い、Mellin-Barnes積分を介してWhittaker関数と特殊関数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点対線および点対半直線ポリマー・モデルにおける分配関数のラプラス変換は、どのように直交Whittaker関数で表現できるか？
• RQ2 これらのポリマー幾何における分配関数の多重コーシー積分表示は何か？
• RQ3 ゼロ温度極限における対数ガンマポリマー・モデルで、どのようにしてシミプレクティックSchur関数が現れるか？
• RQ4 指数型最終到達時間パーコレーションのどのスケーリング極限が、GOE Tracy-Widom分布およびAiry₂→₁分布をもたらすか？
• RQ5 可積分確率の文脈において、$rak{so}_{2n+1}$-Whittaker関数とシミプレクティックSchur関数の明確な関係は何か？

主な発見

• 点対線ポリマー分配関数のラプラス変換は、幾何的RSK対応により直交Whittaker関数で与えられる。
• Whittaker関数の積分表現を用いて、点対線および点対半直線幾何における分配関数の多重コーシー積分公式が導出された。
• 対数ガンマポリマーのゼロ温度極限は、シミプレクティックSchur関数で表される分配関数を持つ最終到達時間パーコレーションモデルをもたらす。
• 点対線の指数型最終到達時間パーコレーション・モデルのスケーリング極限は、GOE Tracy-Widom分布のFredholm行列式公式を回復する。
• 点対半直線の指数型モデルのスケーリング極限は、Airy₂→₁過程の1点周辺分布をもたらす。
• $rak{gl}_n$-および$rak{so}_{2n+1}$-Whittaker関数を含む積分恒等式が証明され、$s=0$ と置くと既知の恒等式に帰着する。