[論文レビュー] Random walk with heavy tail and negative drift conditioned by its minimum and final values

Vincent Bansaye, Vladimir Vatutin|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重たい尾を持つ増分と負のドリフトを持つ条件付きランダムウォークを研究し、その最小値と最終値によって制約された経路に注目する。本稿では、このような経路は通常、$an + O(ackslash sqrtackslash{n})$ のオーダーの大きな初期ジャンプを1回だけ持つことを示す分解定理を確立し、ジャンプ時刻は明示的な定常測度に従い、ジャンプ前のセグメントとジャンプ後のセグメントはそれぞれ条件付きランダムウォークとその時間反転双対に従うことが示される。

ABSTRACT

We consider random walks with finite second moment which drifts to $-\infty$ and have heavy tail. We focus on the events when the minimum and the final value of this walk belong to some compact set. We first specify the associated probability. Then, conditionally on such an event, we finely describe the trajectory of the random walk. It yields a decomposition theorem with respect to a random time giving a big jump whose distribution can be described explicitly.

研究の動機と目的

• 重たい尾を持つ、負のドリフトを持つランダムウォークが $n$ ステップの間に $-x$ より上に保たれ、かつ $T$ より下に終了する確率の漸近的確率を分析すること。
• その最小値 $L_n \geq -x$ および最終値 $S_n \leq T$ で条件付けられた場合の、典型的な経路を特定すること。
• 条件付けられた経路を3つの成分に分解すること：ジャンプ前のセグメント、大きな初期ジャンプ、ジャンプ後のセグメント。
• ジャンプ時刻の分布を特定し、$n \to \infty$ の際に適切な極限分布に収束することを示すこと。
• ジャンプサイズの極限的挙動を記述し、適切に中心化・スケーリングした後、正規分布に収束することを示すこと。

提案手法

• 関数 $b_n = \beta \mathbf{P}(X > an)/(an)$ を用いて、事象 $\{S_n \leq T, L_n \geq -x\}$ の漸近的確率を導出し、潜在関数 $U(x)$ と $V(-z)$ と関連付ける。
• 大きなジャンプの位置を特定するため、ランダム時刻 $\varkappa = \inf\{j \geq 1 : X_j \geq an/2\}$ を導入する。
• 時間反転と双対性を用いて、ジャンプ後のセグメントを、$-x$ より上に保たれるように条件付けられた正のドリフトを持つ前向きのランダムウォーク $\mathbf{S}'$ と関連付ける。
• カップリング論法と弱収束を用いて、ジャンプ前のセグメントとジャンプ後のセグメントの同時分布が、ジャンプ時刻の定常分布を含む積測度に収束することを示す。
• 有界収束定理と中心極限定理を用いて、正規化されたジャンプサイズ $ (X_\varkappa - an)/\sqrt{n} $ が、分散 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)$ の中心化正規分布に分布収束することを示す。
• ジャンプ時刻分布の収束を確立するため、$\mathbf{P}(X_j \geq an/2 \mid L_n \geq -x, S_n \leq T)$ の極限を計算し、$\pi_j(x) = \mathbf{P}(L_{j-1} \geq x) / \sum_{k \geq 0} \mathbf{P}(L_k \geq x)$ に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重たい尾を持つ、負のドリフトを持つランダムウォークが $n$ ステップの間に $-x$ より上に保たれ、かつ $T$ より下に終了する確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 最小値と最終値で条件付けられた場合、その典型的な経路は、大きなジャンプをどこに集中させるか？
• RQ3 $n \to \infty$ の際に、条件付けられた下でのジャンプ時刻の分布はどのように振る舞うか？
• RQ4 適切に中心化・スケーリングした後の大きなジャンプのサイズの極限分布は何か？
• RQ5 条件付けられたランダムウォークの全軌道は、ジャンプ前のセグメント、ジャンプ、ジャンプ後のセグメントに対応する独立な成分に分解可能か？

主な発見

• $n \to \infty$ の際に、確率 $\mathbf{P}(S_n \leq T, L_n \geq -x)$ は、$b_n U(x) \int_0^{x+T} V(-z) \, dz$ に漸近的に同値である。ここで $b_n = \beta \mathbf{P}(X > an)/(an)$ である。
• ジャンプ時刻 $\varkappa$ は、$\mathbf{P}(\varkappa = j) = \pi_j(x) = \mathbf{P}(L_{j-1} \geq x) / \sum_{k \geq 0} \mathbf{P}(L_k \geq x)$ という確率分布に分布収束する。
• 正規化されたジャンプサイズ $ (X_\varkappa - an)/\sqrt{n} $ は、分散 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)$ の中心化正規分布に分布収束する。
• ジャンプ前のセグメントは、$-x$ より上に保たれるように条件付けられた場合、負のドリフトを持つランダムウォークに分布収束する。
• ジャンプ後のセグメントは、時間反転すると、$-x$ より上に保たれるように条件付けられた正のドリフトを持つランダムウォークに分布収束する。初期分布 $\mu$ は $\mu(dy) = \mathbf{P}_y(L_\infty' \geq -x) \mathbf{1}_{[-x,T]}(y) / \theta$ で与えられる。
• ジャンプ前のセグメントとジャンプ後のセグメントの同時分布は、積測度に収束し、ジャンプ時刻が与えられた下で、2つのセグメントが漸近的に独立であることが示される。