[論文レビュー] Rank Centrality: Ranking from Pair-wise Comparisons

Sahand Negahban, Sewoong Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2012

Game Theory and Voting Systems参考文献 48被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、比較グラフ上のランダムウォークを用いて、順位付けとスコア推定を計算的に効率的に行う Rank Centrality を導入している。スコアは定常確率に相当する。比較グラフのスペクトルギャップが正であれば、Bradley-Terry-Luce (BTL) モデル下で、最尤推定と同等の性能を示す近似的に最適な標本複雑度を達成する。

ABSTRACT

The question of aggregating pair-wise comparisons to obtain a global ranking over a collection of objects has been of interest for a very long time: be it ranking of online gamers (e.g. MSR's TrueSkill system) and chess players, aggregating social opinions, or deciding which product to sell based on transactions. In most settings, in addition to obtaining a ranking, finding `scores' for each object (e.g. player's rating) is of interest for understanding the intensity of the preferences. In this paper, we propose Rank Centrality, an iterative rank aggregation algorithm for discovering scores for objects (or items) from pair-wise comparisons. The algorithm has a natural random walk interpretation over the graph of objects with an edge present between a pair of objects if they are compared; the score, which we call Rank Centrality, of an object turns out to be its stationary probability under this random walk. To study the efficacy of the algorithm, we consider the popular Bradley-Terry-Luce (BTL) model (equivalent to the Multinomial Logit (MNL) for pair-wise comparisons) in which each object has an associated score which determines the probabilistic outcomes of pair-wise comparisons between objects. In terms of the pair-wise marginal probabilities, which is the main subject of this paper, the MNL model and the BTL model are identical. We bound the finite sample error rates between the scores assumed by the BTL model and those estimated by our algorithm. In particular, the number of samples required to learn the score well with high probability depends on the structure of the comparison graph. When the Laplacian of the comparison graph has a strictly positive spectral gap, e.g. each item is compared to a subset of randomly chosen items, this leads to dependence on the number of samples that is nearly order-optimal.

研究の動機と目的

• 順位付けとスコア推定のための計算が単純でデータ駆動型のアルゴリズムを開発すること。
• データが Bradley-Terry-Luce (BTL) モデルに従う場合、モデルに特化した推定器と同等の性能を示すアルゴリズムを保証すること。
• 構造的比較グラフ下での真の BTL スコアと推定スコアの有限標本誤差率を分析すること。
• 比較グラフのスペクトル的性質に依存する標本複雑度に関する理論的保証を確立すること。

提案手法

• アルゴリズムは、ノードがアイテムを表し、エッジが比較を表すグラフ上のランダムウォークとしてペアワイズ比較をモデル化する。
• アイテムのスコアは、このランダムウォークの定常分布として定義され、グラフの遷移行列から導出される。
• 推定誤差を制限するために、グラフラプラシアンのスペクトルギャップを活用し、緩い条件下でも収束を保証する。
• 濃縮不等式と行列の分散バウンド（例：Troppの定理）を用いて、確率的グラフモデル下での比較行列の挙動を分析する。
• スペクトル理論を適用可能にするために、度数正規化を用いて比較行列を対称形式に変換する理論的分析に依存する。
• アルゴリズムはグラフのスパarsityに強く、比較がノイズや不完全であっても良好に動作することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純で反復的なアルゴリズムは、BTL モデル下で最尤推定と同等の推定精度を達成できるか？
• RQ2 比較グラフの構造、特にそのスペクトルギャップは、順位付け推定の標本複雑度にどのように影響するか？
• RQ3 真の BTL スコアと Rank Centrality による推定スコアの間の有限標本誤差率は何か？
• RQ4 比較がスパースまたはランダムにサンプリングされた場合でも、アルゴリズムは強力な性能を維持するか？
• RQ5 精度と収束の観点から、Rank Centrality は他の順位付けアルゴリズムとどのように比較できるか？

主な発見

• 比較グラフのスペクトルギャップが正であれば、Rank Centrality は有限標本誤差率をほぼ順序最適に達成する。
• 与えられた誤差バウンド内でスコアを推定するために必要な比較回数は、スペクトルギャップの逆数に比例し、グラフが密または良好に接続されていれば改善する。
• 平均次数 $ d \geq C\log n $ の Erdős–Rényi 確率的グラフモデル下では、アルゴリズムの誤差バウンドは $ O\left(\sqrt{\frac{\log n}{d}}\right) $ に比例する。
• 合成 BTL データ上で実施された実証的評価では、Rank Centrality がスコア推定精度において最尤推定器と同等の性能を示した。
• 収束速度とスパースな比較データへのロバストネスの観点から、他の一般的な順位付け手法よりも優れた性能を示した。
• 行列濃縮不等式（例：Bernstein の不等式、Tropp の行列チェルノフバウンド）を用いて、比較行列の乖離を制御する理論的バウンドが導出された。