[論文レビュー] Rankin-Selberg L-functions in cyclotomic towers, III

Jeanine Van Order|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、CM拡大体上のヒルベルトモジュラー形式およびアンチシクロトミックヘッケ指標に関連するランキン＝セルバーグL関数の中心値に対する非消滅推定を、スペクトル分解とp進L関数を用いて確立する。Rohrlich、Vatsal、Cornut-Vatsalの定理を一般化し、Iwasawa主予想の整除関係を用いてGL₂型アーベル多様体のモーデル＝ヴェイユランクに対する境界を導出する。

ABSTRACT

Let $π$ be a cuspidal automorphic representation of $\operatorname{GL}_2$ over a totally real number field $F$. Let $K$ be a totally imaginary quadratic extension of $F$. We estimate central values of the $\operatorname{GL}_2 imes \operatorname{GL}_2$ Rankin-Selberg $L$-functions associated to $π$ times representations induced from Hecke characters of $K$ which are ramified only at a given prime ideal $\mathfrak{p}$ of $F$. More specifically, we use spectral decompositions of shifted convolution sums and relations to Fourier-Whittaker coefficients of genuine and non-genuine metaplectic forms to obtain nonvanishing estimates, averaging over primitive ring class characters of a given exact order. When $π$ corresponds to a holomorphic Hilbert modular form of arithmetic weight $k \geq 2$, we then derive finer results from the rationality theorems of Shimura, together with the existence of suitable $\mathfrak{p}$-adic $L$-functions. This allows us to generalize the theorems of Rohrlich, Vatsal, and Cornut-Vatsal to this setting. Finally, in a self-contained appendix, we explain how to use these results to deduce bounds for Mordell-Weil ranks of the associated $\operatorname{GL}_2$-type abelian varieties via existing Iwasawa main conjecture divisibilities.

研究の動機と目的

• ヒルベルトモジュラー形式を用いたCM体上のRohrlich、Vatsal、Cornut-Vatsalの非消滅定理を一般化し、中心L値の非消滅を示す。
• Iwasawa主予想の整除関係を用いて、GL₂型アーベル多様体のモーデル＝ヴェイユランクに対する境界を導出する。
• 与えられた次数の環クラス指標によるtwistが施されたGL₂×GL₂ランキン＝セールバーグL関数の中心値に対する非消滅推定を確立する。
• アンチシクロトミックおよびシクロトミックの塔に対して、多変数設定におけるp進L関数の構成と解析を行う。
• スピンされた畳み込み和のスペクトル分解を、メタプレクティック形式のフーリエ＝ブリタッカー係数に関連づけ、算術的応用を目的とする。

提案手法

• スピンされた畳み込み和のスペクトル分解を用いて、ランキン＝セールバーグL関数の中心L値を推定する。
• 真性および非真性メタプレクティック形式のフーリエ＝ブリタッカー係数の関係を適用し、非消滅結果を導出する。
• 固定次数の原始的環クラス指標の平均化を用いて、中心L値を制御する。
• Shimuraの有理型定理およびp進L関数の存在を用いて、重みk ≥ 2の正則ヒルベルトモジュラー形式に対して結果を精緻化する。
• ワイエルシュトラスの準備定理を用いて、多変数p進L関数を特殊化し、高次のアンチシクロトミック次数を持つ指標に対して非消滅を導出する。
• Iwasawa主予想の整除関係を用いて、L値の非消滅とセレマー群およびモーデル＝ヴェイユランクのコランクとの関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトモジュラー形式およびアンチシクロトミックヘッケ指標に関連するGL₂×GL₂ランキン＝セールバーグL関数の中心値が非消滅しない条件は何か？
• RQ2 多変数Iwasawa理論における中心L値の非消滅を検出するために、p進L関数をどのように構成し、特殊化できるか？
• RQ3 L値の非消滅とアンチシクロトミックおよびシクロトミック拡大体上でのモーデル＝ヴェイユ群の構造との正確な関係は何か？
• RQ4 スペクトル法およびフーリエ＝ブリタッカー係数は、メタプレクティック形式の文脈において中心L値を推定するためにどのように寄与するか？
• RQ5 Iwasawa主予想の整除関係および非消滅定理を用いて、GL₂型アーベル多様体のモーデル＝ヴェイユランクに対して得られる境界は何か？

主な発見

• スペクトル分解およびメタプレクティック形式の係数を用い、固定次数の原始的環クラス指標の平均化により、中心L値の非消滅推定が確立される。
• 重みk ≥ 2の正則ヒルベルトモジュラー形式に対して、Shimuraの有理型定理およびp進L関数を用いて、Rohrlich、Vatsal、Cornut-Vatsalの定理が一般化される。
• 根数が−1の場合、中心L値は消えるが、p進L関数は恒等的に消えないため、特定のアンチシクロトミック拡大体においてモーデル＝ヴェイユランクが有限であることが示唆される。
• δ ≥ 2の場合、根数が−1であれば、Iwasawa環O[[Ω^(n)]]上でのセレマー群A(K_n D_∞) ⊗ Q_p/Z_pのコランクは1であり、根数が+1であれば0である。
• 最小のアンチシクロトミック指数α₀が存在し、すべての次数≥ p^{α₀}の指標へのp進L関数の特殊化は非消滅するため、非消滅行動を制御できる。
• Iwasawa主予想の整除関係を用いて、アンチシクロトミックZ_p^δ拡大体上でのAのモーデル＝ヴェイユランクが境界づけられ、非消滅L値およびモジュール論的議論からコランクの公式が導出される。