[論文レビュー] Rapoport-Zink spaces of Hodge type

Wansu Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$p > 2$ である $Δ_p$ 上の非分岐再帰的群に対して、Hodge型のRapoport-Zink空間を、$p$-可除群とクリスタリン・テートテンソル、および整合性のあるホッジフィルトレーションをパラメトライズする形式的スキームとして構成する。主な結果として、非分岐Hodge型局所シムーラデータの局所シムーラ多様体を実現する形式的に滑らかなモジュライ空間が得られ、従来のEL/PELの場合を超えて拡張される。

ABSTRACT

When $p>2$, we construct a Hodge-type analogue of Rapoport-Zink spaces under the unramifiedness assumption, as formal schemes parametrising "deformations" (up to quasi-isogeny) of $p$-divisible groups with certain crystalline Tate tensors. We also define natural rigid analytic towers with expected extra structure, providing more examples of "local Shimura varieties" conjectured by Rapoport and Viehmann.

研究の動機と目的

• $p$-可除群とクリスタリン・テートテンソルを用いた、Hodge型シムーラ多様体の $p$-進局所類似を構成すること。
• Frobenius不変テンソルと整合性のあるホッジフィルトレーションを備えた $p$-可除群の変形（準同型類まで）のモジュライ空間を定義すること。
• 局所シムーラ多様体の予想される「局所シムーラ多様体」を、$\mathtt{RZ}_{G,b}$ の一般点上の剛体解析的ツリーを用いて実現すること。
• EL型およびPEL型を超えて、スピン相似比群のランク $\geq 7$ などの場合を含む、Rapoport-Zink構成を拡張すること。
• 補助的選択の独立性およびファンクター理論的性質を、例外的同型を介して確立すること。

提案手法

• クリスタリン・デュドニエ理論を用いて、形式的スキーム上の $p$-可除群に $F$-クリスタルとFrobenius不変テンソルを関連付ける。
• 共役類 $\{\mu\}$ に属するコアキシオメトリックを用いて、変形がテートテンソルとホッジフィルトレーションを保存するように制約を課す。
• $p > 2$ の場合に有効な、$p$ で生成される冪零イデアルに対するGrothendieck-Messing変形理論を適用する。
• 元のRapoport-Zink空間 $\mathtt{RZ}_{\mathbb{X}}$ の閉形式的部分スキームとして、モジュライ空間 $\mathtt{RZ}_{G,b}$ を構成する。
• $K_0 \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}[1/p]} \mathfrak{M}$ と $D_{\mathrm{cris}}(V(X)^*)$ 間のクリスタリン比較同型を確立し、$p$-進ホッジ構造とキシンモジュールを関連付ける。
• 同型 $W \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}} \mathfrak{M} \cong \mathbb{D}(Y)(W)$ を用いて整数的構造を上げ、テートテンソルの整数性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分岐再帰的群に対して、EL型およびPEL型を超えてHodge型Rapoport-Zink空間を構成できるか？
• RQ2 どのようにして $p$-可除群の変形においてクリスタリン・テートテンソルを定義し、保存できるか？
• RQ3 このような $p$-可除群のモジュライ空間は、$p$-可除群 $\mathbb{X}$ の選択に依存しない程度はどの程度か？
• RQ4 非分岐Hodge型局所シムーラデータの予想される「局所シムーラ多様体」は、剛体解析的ツリーを用いて実現可能か？
• RQ5 コアキシオメトリック $\mu$ は、モジュライ空間における $p$-可除群のホッジフィルトレーションをどのように制御するか？

主な発見

• $\mathtt{RZ}_{G,b}$ は $\widehat{\mathbb{Z}}_p^{\mathrm{ur}}$ 上で形式的に滑らかであり、$\mathbb{X}$ の選択に依存せず、非分岐Hodge型局所シムーラデータ $(G,[b],\{\mu^{-1}\})$ のみに依存する。
• $p > 2$ の場合、$\mathtt{RZ}_{G,b}$ の一般点上の剛体解析的ツリーが得られ、RapoportとViehmannの予想される「局所シムーラ多様体」が実現される。
• $\mathtt{RZ}_{G,b}$ は、命題4.7.1で示されるように、EL型およびPEL型の場合に古典的なRapoport-Zink空間を回復する。
• 本構成は、$\mathrm{GSp}(V)$ や $\mathrm{GSpin}(V)$（$\dim V \geq 7$）のような、EL型およびPEL型でない群に対しても適用可能である。
• キシンモジュールの包含における余核の $p$- torsion が存在しないことと、クリスタリン比較同型を用いることで、テートテンソルのエタール実現の整数性が証明される。
• $\mathbb{D}(Y)(W)$ への同型 $W \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}} \mathfrak{M}(T(Y)^*) \cong \mathbb{D}(Y)(W)$ は、$F$-クリスタル上のホッジフィルトレーションを誘導し、クリスタリンコホモロジーと整合性があることを確認する。