[論文レビュー] Rates in almost sure invariance principle for slowly mixing dynamical systems

Guy Cohen, Jérôme Dedecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Pomeau-Mannevilleの間欠的写像を含む緩やかに混合する力学系に対して、KMT近似法とYoung-towerに類似したマルコフ連鎖表現を用いて、$ o(n^{\beta}L(n)) $ のレートを伴うほぼ確実な不変性原理（ASIP）が本質的に最適であることを確立する。主な結果は、$ O(n^{1/4}) $ のレート障壁を打ち破り、$ \beta $ が混合速度 $ \gamma $ に依存する $ o(n^{\beta}) $ のレートを達成する。ここで $ \gamma < 1/2 $ である。

ABSTRACT

We prove the one-dimensional almost sure invariance principle with essentially optimal rates for slowly (polynomially) mixing deterministic dynamical systems, such as Pomeau-Manneville intermittent maps, with Hölder continuous observables. Our rates have form $o(n^γL(n))$, where $L(n)$ is a slowly varying function and $γ$ is determined by the speed of mixing. We strongly improve previous results where the best available rates did not exceed $O(n^{1/4})$. To break the $O(n^{1/4})$ barrier, we represent the dynamics as a Young-tower-like Markov chain and adapt the methods of Berkes-Liu-Wu and Cuny-Dedecker-Merlevède on the Komlós-Major-Tusnády approximation for dependent processes.

研究の動機と目的

• 緩やかに混合する力学系、特に多項式的混合を示す間欠的写像に対して、鋭いほぼ確実な不変性原理（ASIP）レートの欠如に取り組む。
• このような系におけるASIPの長年の $ O(n^{1/4}) $ レート障壁を、高度なカップリングおよび近似技術を用いて克服する。
• ホルダー連続な観測量に対して、本質的に最適なレート $ o(n^{\beta}L(n)) $ を確立する。ここで $ \beta $ は混合速度 $ \gamma $ に依存する。
• 独立または弱く依存する過程のために開発された強近似法を、非一様的双曲的かつ非混合的力学系へと適用可能にする。
• Pomeau-Manneville写像のような多項式相関減衰を示す系において、鋭いASIPレートを導出するフレームワークを提供する。

提案手法

• 間欠的写像の力学を、帰還構造を活用し記憶効果を制御できるYoung-towerに類似したマルコフ連鎖として表現する。
• マルコフ連鎖のマーティングル近似とカップリング技術を用いて、従属的・弱く依存的・非 stationarity な過程に対し、Komlós-Major-Tusnády（KMT）近似フレームワークを適応する。
• 帰還集合 $ Y = (1/2,1] $ 上の誘導系を用いて帰還時間 $ \tau $ を分析し、$ \gamma < 1/2 $ のもとで $ \int_Y \tau^{1/\gamma} d{\rm Leb} < \infty $ という可積分性条件を活用する。
• 分散制御によるBorel-Cantelli補題の基準を用い、帰還時間が $ (n \log n)^{1/\beta} $ を無限回超えることを証明し、ASIPレートを支持する。
• 周期的系の射影技術（$ \pi_0 $ を通じて）を用い、全系の部分和を誘導系の和に結びつけることで、ASIP結果の移行を可能にする。
• Berkes-Liu-WuおよびCuny-Dedecker-Merlevèdeによる従属過程のKMT近似結果を組み合わせ、最終的なASIPを $ o(n^\beta L(n)) $ の誤差で得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダー連続な観測量に対して、Pomeau-Manneville写像のような緩やかに混合する力学系における最適なほぼ確実な不変性原理（ASIP）レートは何か？
• RQ2 このような系における既存のASIP結果の $ O(n^{1/4}) $ レート障壁は、高度なカップリングおよび近似技術を用いてどのように克服できるか？
• RQ3 Komlós-Major-Tusnády（KMT）近似法は、多項式的混合レートを示す非一様的双曲的系へと拡張可能か？
• RQ4 ASIPレートは混合パrameter $ \gamma $ にどのように依存するか？また、帰還時間分布とどのように関係するか？
• RQ5 全系のASIPは、帰還集合 $ Y $ 上の誘導系のASIPからどのように導出可能か？また、射影 $ \pi_0 $ はこの過程をどのように支援するか？

主な発見

• 本稿は、$ \gamma < 1/2 $ のPomeau-Manneville写像に対して、$ o(n^{\gamma}L(n)) $ のレートを伴うほぼ確実な不変性原理を確立する。ここで $ L(n) $ はゆっくり変動する関数である。
• $ \gamma \in (1/4, 1/2) $ の場合、レートは $ o(n^{\gamma/2 + 1/4 + \varepsilon}) $ に改善され、従来の $ O(n^{1/4}) $ の境界を著しく上回る。
• Young-towerに類似したマルコフ連鎖表現を用い、従属過程のKMT法を適応することで、著者らはASIPレートにおける $ O(n^{1/4}) $ の障壁を打ち破った。
• 空間平均がゼロであるホルダー連続な観測量に対して、中心極限定理が適用可能であることを保証する。
• $ \gamma \in [1/4, 1/2) $ の場合、最適なレート $ o(n^{\gamma + \varepsilon}) $ が達成され、レートが混合速度 $ \gamma $ に直接依存することを示している。
• このフレームワークにより、射影 $ \pi_0 $ を通じて、$ Y $ 上の誘導系のASIPを全系へと移行可能であり、誤差レート構造を保持する。