[論文レビュー] Rational BV-algebra in String Topology

Yves Félix, Jean‐Claude Thomas|ArXiv.org|May 29, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1連結な閉多様体 $M$ に対して、Hochschildコホモロジー $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ に合理的なBV代数構造を確立し、係数体の特性がゼロのとき、それがずらされたホモロジー $H_{\ast+m}(LM)$ とBV代数として同型であることを証明する。この構成は有理ホモトピー論とPoincaré双対性モデルを用い、ストリングトポロジーにおけるChas-SullivanのBV構造をHochschildコホモロジーへと持ち上げる。

ABSTRACT

Let $M$ be a 1-connected closed manifold and $LM$ be the space of free loops on $M$. In \cite{C-S} M. Chas and D. Sullivan defined a structure of BV-algebra on the singular homology of $LM$, $H_\ast(LM; \bk)$. When the field of coefficients is of characteristic zero, we prove that there exists a BV-algebra structure on $\hH^\ast(C^\ast (M); C^\ast (M))$ which carries the canonical structure of Gerstenhaber algebra. We construct then an isomorphism of BV-algebras between $\hH^\ast (C^\ast (M); C^\ast (M)) $ and the shifted $ H_{\ast+m} (LM; {\bk})$. We also prove that the Chas-Sullivan product and the BV-operator behave well with the Hodge decomposition of $H_\ast (LM) $.

研究の動機と目的

• Hochschildコホモロジー $\u005cmathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ に、その標準的なGerstenhaber代数構造を拡張するBV代数構造を確立すること。
• 特性がゼロの体上の $H_{\ast+m}(LM)$ と $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ の間のBV代数同型を証明すること。
• Chas-Sullivan積とBV作用素が $H_{\ast}(LM)$ のホッジ分解と整合することを示すこと。

提案手法

• $C^\ast(M)$ に quasi-isomorphic で、有限次元かつ次数 $m$ でPoincaré双対性を満たすPoincaré双対性モデル $A$ を使用する。
• 乗法 $\mu$ からの双対性を介して、$A \to A \otimes A$ の次数 $m$ の写像 $\mu_A$ を定義し、微分および $A$-両側加群構造と整合することを保証する。
• 最小モデルを用いて、準同型 $f: \mathbf{C}^\ast(\mathfrak{M}_M; \mathfrak{M}_M) \to (\mathfrak{M}_M \otimes \bigwedge \bar{V}, \bar{d})$ を構成し、代数的構造の転送を可能にする。
• $\mathcal{C}^\ast(L; UL^\vee_a)$ を通じて誘導されるフィルトレーション $H^{[p]}_{\ast}(LM)$ を介して、$H_{\ast}(LM)$ のホッジ分解を活用し、$\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$ と関連付ける。
• Poincaré-Birkhoff-Witt同型 $\gamma: \bigwedge L \to UL$ を用いて $\Gamma^p = \gamma(\bigwedge^p V)$ を特定し、$H^{[p]}_{\ast}(LM)$ を $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$ と関連付ける。
• 同型の下で、$H_{\ast+m}(LM)$ 上のBV作用素と積が、$\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 上の標準的BV構造に対応することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性がゼロの体上の $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ は、そのGerstenhaber代数構造を拡張するBV代数構造を備えているか？
• RQ2 1連結多様体に対して、$H_{\ast+m}(LM)$ と $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ の間にはBV代数同型が存在するか？
• RQ3 $H_{\ast}(LM)$ 上のChas-Sullivan積とBV作用素は、フィルトレーション $H^{[p]}_{\ast}(LM)$ によって誘導されるホッジ分解と整合するか？

主な発見

• 係数体の特性がゼロで $M$ が1連結であるとき、$\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ には標準的なBV代数構造が存在する。
• ずらされたホモロジー $H_{\ast+m}(LM)$ は、BV代数として $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ と同型である。
• Chas-Sullivan積とBV作用素は、$H_{\ast}(LM)$ のホッジ分解 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$ と整合し、双対性の下で $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$ に対応する。
• $H_{\ast}(LM)$ と $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ の同型はホッジフィルトレーションと整合し、BV構造を保存する。
• この構成は、$C^\ast(M)$ のPoincaré双対性モデル $A$ に依存しており、これにより $H_{\ast+m}(LM)$ 上のBV構造をHochschildコホモロジーへと転送できる。
• 従来のGerstenhaber代数同型を、BV代数のレベルにまで拡張し、特性がゼロの体上のストリングトポロジーにおける長年の未解決問題を解決する。