[論文レビュー] The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces

Dmitry Vaintrob|ArXiv.org|Feb 28, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、双曲的でない閉じた向き付け可能多様体の自由ループ空間ホモロジーにおけるストリングトポロジーBatalin-Vilkovisky (BV)代数と、その基本群の群代数のHochschildコホモロジーBV代数との間で自然な同型を確立する。トポロジカルかつ代数的な構成を用いて、チャス＝スールーリーのBV作用素がPoincaré双対性により双対化されたコンネス作用素に対応することを証明し、またループ積がカップ積に対応することを示す。これにより、双曲的表面やより一般的な双曲的多様体について、両側のBV代数構造が完全に同定される。

ABSTRACT

In 1999 Chas and Sullivan discovered that the homology H_*(LX) of the space of free loops on a closed oriented smooth manifold X has a rich algebraic structure called string topology. They proved that H_*(LX) is naturally a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra. There are several conjectures connecting the string topology BV algebra with algebraic structures on the Hochschild cohomology of algebras related to the manifold X, but none of them has been verified for manifolds of dimension n>1. In this work we study string topology in the case when X is aspherical (i.e. its homotopy groups π_i(X) vanish for i > 1). In this case the Hochschild cohomology Gerstenhaber algebra HH^*(A) of the group algebra A of the fundamental group of X has a BV structure. Our main result is a theorem establishing a natural isomorphism between the Hochschild cohomology BV algebra HH^*(A) and the string topology BV algebra H_*(LX). In particular, for a closed oriented surface X of hyperbolic type we obtain a complete description of the BV algebra operations on H_*(LX) and HH^*(A) in terms of the Goldman bracket of loops on X. The only manifolds for which the BV algebra structure on H_*(LX) was known before were spheres and complex Stiefel manifolds. Our proof is based on a combination of topological and algebraic constructions allowing us to compute and compare multiplications and BV operators on both H_*(LX) and HH^*(A).

研究の動機と目的

• 次元 >1 の多様体について、ストリングトポロジーBV代数がループホモロジーに同型であるという長年の予想を解決すること。
• 球面や複素Stiefel多様体を越える多様体について、ループホモロジーにおける完全なBV代数構造の初の明示的計算を提供すること。
• Poincaré双対性を介して、チャス＝スールーリーのBV作用素とHochschildコホモロジーにおけるコンネス作用素の正確な対応関係を確立すること。
• ループ積とゲルステンハーバー括弧が、それぞれカップ積とLie括弧に対応することを示すこと。
• 双曲的多様体における群代数コホモロジーとの代数的接続を通じて、ストリングトポロジー作用素の理解を拡張すること。

提案手法

• 群代数 A = k[π₁(X)] のHochschildホモロジー HH_*(A) とループホモロジー H_*(LX) の間のベクトル空間同型 ρ を構成する。
• ρ が H_*(LX) 上のチャス＝スールーリーのBV作用素 Δ を HH_*(A) 上のコンネス作用素 κ に写像することを示す。
• 双対解体構成を用いて、HH_*(A) → HH^{n-*}(A) へのPoincaré双対性同型 τ を定義する。
• τ を用いて、Hochschildコホモロジー HH^{*}(A) 上に λ = τ ∘ κ ∘ τ⁻¹ としてBV作用素 λ を誘導し、それがGerstenhaber代数構造と整合することを証明する。
• H_*(LX) → HH^{n-*}(A) への合成写像 ξ = τ ∘ ρ が、積とBV作用素を両方保存する代数的同型であることを証明する。
• ループ積、カップ積、およびそれらの対応するBV構造を結ぶ図式の可換性を示し、完全なBV代数同型を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的多様体について、H_*(LX) 上のストリングトポロジーBV代数とHH^{*}(A) 上のHochschildコホモロジーBV代数との間に自然な同型が存在するか？
• RQ2 Poincaré双対性の下で、ループホモロジー上のチャス＝スールーリーのBV作用素 Δ は、Hochschildホモロジー上のコンネス作用素 κ に対応するか？
• RQ3 同じ同型の下で、H_*(LX) 上のループ積は、HH^{*}(A) 上のカップ積に対応するか？
• RQ4 双曲的型の閉じた向き付け可能曲面について、ゴールドマン括弧を用いて、BV代数構造を明示的に記述できるか？
• RQ5 同型は、ストリングトポロジーとHochschildコホモロジーの間で、Gerstenhaber括弧構造を保存するか？

主な発見

• 本稿は、任意の双曲的でない閉じた向き付け可能多様体 X について、ストリングトポロジーBV代数 H_*(LX) とHochschildコホモロジーBV代数 HH^{*}(A) の間で自然な同型を確立する。
• 同型 ξ: H_*(LX) → HH^{n-*}(A) は、結合的積とBV作用素の両方を保存するため、両側の完全なBV代数構造が同型であることが確認される。
• 同型 ρ の下で、ループホモロジー上のチャス＝スールーリーのBV作用素 Δ は、Hochschildホモロジー上のコンネス作用素 κ に写像される。
• Poincaré双対性同型 τ: HH_*(A) → HH^{n-*}(A) は、コホモロジー上に λ = τ ∘ κ ∘ τ⁻¹ としてBV作用素 λ を誘導し、これはGerstenhaber代数構造と整合する。
• 双曲的表面では、H_*(LX) と HH^{*}(A) 上の両方のBV代数作用素が、ゴールドマン括弧を用いて完全に記述される。
• 同型 ξ は、ループ上のゴールドマン括弧を、Hochschildコホモロジー上のGerstenhaber括弧に写像し、Lie型構造の整合性を確認する。