[論文レビュー] Rationality of the SL(2,C)-Reidemeister torsion in dimension 3

Jérôme Dubois, Stavros Garoufalidis|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1個のブドウと2- torsion を持たない有限体積の双曲3次元多様体に対して、SL(2,C)-Reidemeister torsion が、不変トレース体の高々2次拡大内に存在する、キャラクター多様体上の有理関数であることを証明する。また、この torsion と縁または縦糸のトレースの間には多項式関係が存在し、量子トポロジーにおける漸近的不変量の有理性を支持する。

ABSTRACT

If $M$ is a finite volume complete hyperbolic 3-manifold with one cusp and no 2-torsion, the geometric component $X_M$ of its $\SL(2,\BC)$-character variety is an affine complex curve, which is smooth at the discrete faithful representation $ρ_0$. Porti defined a non-abelian Reidemeister torsion in a neighborhood of $ρ_0$ in $X_M$ and observed that it is an analytic map, which is the germ of a unique rational function on $X_M$. In the present paper we prove that (a) the torsion of a representation lies in at most quadratic extension of the invariant trace field of the representation, and (b) the existence of a polynomial relation of the torsion of a representation and the trace of the meridian or the longitude. We postulate that the coefficients of the $1/N^k$-asymptotics of the Parametrized Volume Conjecture for $M$ are elements of the field of rational functions on $X_M$.

研究の動機と目的

• 1個のブドウと2- torsion を持たない双曲3次元多様体の文脈において、SL(2,C)-Reidemeister torsion の有理性を確立すること。
• 表現の不変トレース体の高々2次拡大内に、表現の torsion が存在することを示すこと。
• キャラクター多様体上での torsion と縁または縦糸のトレースの間の多項式関係の存在を証明すること。
• 1/N^k 漸近展開におけるボリューム予想の係数が、キャラクター多様体上の有理関数として表現可能であるという予想を支持すること。

提案手法

• 双曲3次元多様体 $M$ のSL(2,C)-キャラクター多様体の幾何的成分 $X_M$ を用いる。これは、離散的で忠実な表現 $\rho_0$ において滑らかなアフィン複素曲線である。
• Portiによる非アーベルReidemeister torsionの定義を、$\rho_0$ の近傍における解析関数として用い、これが $X_M$ 上の有理関数のgerm であることが示された。
• 拡張表現の理論と形状体を用いて、キャラクター多様体の係数体を分析する。
• 理想三角形分割と接着方程式を用いて、キャラクター多様体およびその有理関数を記述する。
• アフィン曲線の函数体の超越次数が1であるという代数幾何学的結果を適用し、torsion 関数の有理性を導出する。
• A多項式およびその torsion との関係を示す公式 $\tau_\mu = \tau_\lambda \cdot \left(\frac{\operatorname{tr}_\lambda^2 - 4}{\operatorname{tr}_\mu^2 - 4}\right)^{1/2} \cdot \frac{\partial \operatorname{tr}_\mu}{\partial \operatorname{tr}_\lambda}$ を用い、torsion をモノドロミーのトレースに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1個のブドウと2- torsion を持たない双曲3次元多様体に対して、SL(2,C)-Reidemeister torsion がキャラクター多様体上の有理関数であるか。
• RQ2 torsion が表現の不変トレース体の代数的拡大内にどの程度まで存在するか。
• RQ3 キャラクター多様体上での torsion と縁または縦糸のトレースの間には多項式関係が存在するか。
• RQ4 ボリューム予想の1/N^k 展開における漸近係数は、キャラクター多様体上の有理関数として表現可能か。
• RQ5 非アーベルReidemeister torsionは、境界トーラス上の適切な曲線の選び方にどのように依存するか。

主な発見

• 非アーベルReidemeister torsion は、SL(2,C)-キャラクター多様体 $X_M$ 上の有理関数のgerm である。$X_M$ はアフィン複素曲線である。
• 任意の表現の torsion は、その表現の不変トレース体の高々2次拡大内に存在する。
• キャラクター多様体上での表現の torsion と縁または縦糸のトレースの間には多項式関係が存在する。
• 多様体 $X_M$ 上の有理関数の体は、パrametrizedボリューム予想の1/N^k 展開におけるすべての漸近係数を含む。
• compactifiedキャラクター多様体 $\overline{X}_{M,\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})}$ 上で torsion 関数 $\tau_\gamma$ は有理関数であり、その適切な曲線 $\gamma$ への依存性はA多項式によって支配される。
• torsion は、$\tau_\mu = \tau_\lambda \cdot \left(\frac{\operatorname{tr}_\lambda^2 - 4}{\operatorname{tr}_\mu^2 - 4}\right)^{1/2} \cdot \frac{\partial \operatorname{tr}_\mu}{\partial \operatorname{tr}_\lambda}$ という変換法則を満たし、A多項式を介して縁と縦糸の torsion を関連付ける。