[論文レビュー] RC-positivity, rational connectedness and Yau's conjecture

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ヘルミート的正則ベクトルバンドルに対するRC正性を導入し、コンパクトなケーラー多様体上ですべての $1 \leq p \leq \dim X$ に対して $\Lambda^pT_X$ がRC正性を満たすならば、その多様体は射影的かつ有理的連結的であることを証明する。本稿は、正の正則的セクション曲率が $\Lambda^pT_X$ のRC正性を意味することを示し、Yauの予想を確認する。これにより、$H^{p,0}_{\overline{\partial}}(X)$ の消滅および有理的連結性が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a concept of RC-positivity for Hermitian holomorphic vector bundles and prove that, if $E$ is an RC-positive vector bundle over a compact complex manifold $X$, then for any vector bundle $A$, there exists a positive integer $c_A=c(A,E)$ such that $$H^0(X,\mathrm{Sym}^{\otimes \ell}E^*\otimes A^{\otimes k})=0$$ for $\ell\geq c_A(k+1)$ and $k\geq 0$. Moreover, we obtain that, on a compact Kähler manifold $X$, if $Λ^p T_X$ is RC-positive for every $1\leq p\leq \dim X$, then $X$ is projective and rationally connected. As applications, we show that if a compact Kähler manifold $(X,ω)$ has positive holomorphic sectional curvature, then $Λ^p T_X$ is RC-positive and $H_{\bar\partial}^{p,0}(X)=0$ for every $1\leq p\leq \dim X$, and in particular, we establish that $X$ is a projective and rationally connected manifold, which confirms a conjecture of Yau([57, Problem 47]).

研究の動機と目的

• 有理的連結性の微分幾何的特徴づけを曲率条件を用いて行う。
• ヘルミート的正則ベクトルバンドルに対するRC正性を新たな曲率条件として導入し、その性質を研究する。
• コンパクトなケーラー多様体が正の正則的セクション曲率を持つならば、射影的かつ有理的連結的であるというYauの予想を確認する。
• RC正性を介して、正則テンソル場の消滅と有理的連結性との関係を確立する。
• 有理的連結性および射影性を示す一般化された曲率条件を提案し、その性質を調査する。

提案手法

• チェーン曲率テンソルにおける点ごとの曲率条件を用いて、ヘルミート的ベクトルバンドルに対するRC正性を定義する：$ R^{(E,h)}(v,\bar{v},a,\bar{a}) > 0 $ となる $ v \in T_X $ および非ゼロ $ a \in E $ が存在する。
• RC正性を満たす $ E $ に対して、すべての $ \ell \geq c_A(k+1) $ および $ k \geq 0 $ に対して $ H^0(X, \mathrm{Sym}^\ell E^* \otimes A^k) = 0 $ が成り立つことを証明し、消滅定理を確立する。
• この消滅結果を $ E = \Lambda^pT_X $ に適用し、すべての $ \Lambda^pT_X $ がRC正性を満たすならば、有理的連結性および射影性が導かれる。
• 曲率トレースおよびヘルミート計量の推定を用いて、正の正則的セクション曲率が $ \Lambda^pT_X $ のRC正性を意味することを示す。
• Campana-Demailly-Peternellの有理的連結性の基準を用いて、RC正性から射影性および有理的連結性を導出する。
• 正の正則的セクション曲率のもとで、すべての $ 1 \leq p \leq \dim X $ に対して $ H^{p,0}_{\overline{\partial}}(X) = 0 $ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Lambda^pT_X$ がすべての $ 1 \leq p \leq \dim X $ に対してRC正性を満たすならば、コンパクトなケーラー多様体は射影的かつ有理的連結的であるか？
• RQ2 正の正則的セクション曲率が $\Lambda^pT_X$ のRC正性を示すことができ、Yauの予想を確認できるか？
• RQ3 すべての $ m \geq 1 $ に対して $ H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m}) = 0 $ が有理的連結性と同値であるか？ そして、曲率を用いて特徴づけられるか？
• RQ4 アーマークなベクトルバンドルはRC正性を持つ計量をもつのか？ また、RC正性はベクトルバンドルの文脈においてアーマーク性とどのように関係するか？
• RQ5 十分に大きな $ \ell $ に対して $ H^0(X, \mathrm{Sym}^\ell E^* \otimes A^k) $ が消えるならば、$ E $ はRC正性を満たすとみなせるか？ これは主な消滅定理の逆を提供する。

主な発見

• コンパクト複素多様体 $ X $ 上で $ E $ がRC正性を満たすならば、すべての $ \ell \geq c_A(k+1) $ および $ k \geq 0 $ に対して $ H^0(X, \mathrm{Sym}^\ell E^* \otimes A^k) = 0 $ が成り立つ。ここで $ c_A $ は $ A $ と $ E $ に依存する。
• コンパクトケーラー多様体 $ X $ において、すべての $ 1 \leq p \leq \dim X $ に対して $ \Lambda^pT_X $ がRC正性を満たすならば、$ X $ は射影的かつ有理的連結的である。
• 正の正則的セクション曲率を持つコンパクトケーラー多様体 $ (X,\omega) $ に対して、誘導された計量 $ \Lambda^p\omega $ に関して、すべての $ 1 \leq p \leq \dim X $ に対して $ \Lambda^pT_X $ はRC正性を満たす。
• 正の正則的セクション曲率のもとで、すべての $ 1 \leq p \leq \dim X $ に対して $ H^{p,0}_{\overline{\partial}}(X) = 0 $ が成り立つ。これは有理的連結性を示すための重要なステップである。
• 本稿はYauの予想を確認した：正の正則的セクション曲率を持つコンパクトケーラー多様体は、射影的かつ有理的連結的である。
• 結果はRC正性よりも弱い曲率条件に対しても拡張可能であり、定理3.3の定義のもとでも主な定理が成り立つ。