[論文レビュー] Real and p-adic Picard-Vessiot fields

Teresa Crespo, Zbigniew Hajto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Tannakian圏とGaloisコホモロジーを用いて、実およびp進的に閉じた微分体上の微分モジュールに対する実およびp進的Picard–Vessiot体の存在と一意性を確立する。自然な順序および賦値条件の下で、これら体の存在と一意性について完全に代数的な証明を提供し、微分Galois理論を用いて半単純代数群の実形式の逆問題を解く。

ABSTRACT

We consider differential modules over real and p-adic differential fields such that their field of constants is real closed (respectively p-adically closed). Using Deligne's work on Tannakian categories and a result of Serre on Galois cohomology, a purely algebraic proof of the existence and unicity of real (respectively p-adic) Picard-Vessiot fields is obtained.

研究の動機と目的

• 実およびp進的に閉じた微分体上の微分モジュールに対する実およびp進的Picard–Vessiot体の存在と一意性を確立すること。
• Tannakian圏とDeligne–Serreのコホモロジー的結果を用いて、存在と一意性の完全に代数的な証明を提供すること。
• 微分Galois理論を用いて、半単純代数群の実形式の逆問題を解くこと。
• 順序と賦値が非同型のPicard–Vessiot拡張を区別する役割を明確にすること。

提案手法

• 微分体上のモジュールの微分Galois群をモデル化するためにTannakian圏理論を用いる。
• P. DeligneのTannakian圏に関する研究とJ.-P. SerreのGaloisコホモロジー結果を適用し、基本体と拡張体間のコホモロジー類の全単射を確立する。
• 微分モジュールのTannakian圏から定数体上のベクトル空間へのファイバー関手を構成する。
• ファイバー関手の存在を用いて、Tannakian形式主義から生じる微分環の分数関数体としてPicard–Vessiot体を構成する。
• 基本体上の全順序またはp進的賦値との整合性を要請することで、Picard–Vessiot体に実またはp進的構造を導入する。
• 理論を応用して、実またはp進的に閉じた体上の半単純群のすべての形式が、ある微分モジュールの微分Galois群として実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実閉じた定数を持つ実微分体上の任意の微分モジュールに対して、実Picard–Vessiot体が存在するか？
• RQ2 同じモジュールに対する2つの実Picard–Vessiot体が、微分体として同型となる条件は何か？
• RQ3 任意の半単純代数群の実形式が、実閉じた体上の微分モジュールの微分Galois群として現れるか？
• RQ4 p進的賦値と閉包は、p進的Picard–Vessiot体の分類にどのように影響するか？
• RQ5 定数体の役割は、モジュールの微分Galois群を決定づけるものか？

主な発見

• 実閉じた定数を持つ実微分体上の任意の微分モジュールに対して、実Picard–Vessiot体が存在する。
• 同じモジュールに対する2つの実Picard–Vessiot体が、同じ全順序を基本体に誘導する限り、微分体として同型である。
• p進的に閉じた微分体上の任意の微分モジュールに対して、p進的Picard–Vessiot体が存在する。
• 2つのp進的Picard–Vessiot体が微分体として同型であるための必要十分条件は、それらのp進的閉包が基本体上で同じ賦値を誘導し、かつすべてのn ≥ 2についてn乗元を一致させることである。
• 実閉じた体上の半単純代数群のすべての実形式が、実微分体上のある微分モジュールの微分Galois群として現れる。
• 実閉じた体上のモジュールの微分Galois群は、解空間上の対称双一次形式の符号型によって決定される実形式に同型である。