[論文レビュー] Real Projective Iterated Function Systems

Michael F. Barnsley, Andrew Vince|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実射影反復関数系（IFS）の基礎的定理を確立し、射影的IFSが高々1つの吸引核しかもたないことを証明するとともに、その吸引核が超平面を避ける条件を同定する。また、射影変換のもとで不変であり、古典的射影幾何学における吸引核を区別する、新しい非自明な射影的不変量「インデックス」を導入する。

ABSTRACT

This paper contains four main results associated with an attractor of a projective iterated function system (IFS). The first theorem characterizes when a projective IFS has an attractor which avoids a hyperplane. The second theorem establishes that a projective IFS has at most one attractor. In the third theorem the classical duality between points and hyperplanes in projective space leads to connections between attractors that avoid hyperplanes and repellers that avoid points as well as hyperplane attractors that avoid points and repellers that avoid hyperplanes. Finally, an index is defined for attractors which avoid a hyperplane. This index is shown to be a nontrivial projective invariant.

研究の動機と目的

• 実射影反復関数系（IFS）における吸引核の存在および一意性に関する厳密な条件を確立すること。
• 吸引核が超平面を避ける条件を特定し、射影幾何学における収縮性と双対性とを結びつけること。
• 超平面を避ける吸引核に対して、新しい射影的不変量「インデックス」を定義し、その解析を行うこと。
• 超平面を避ける吸引核と点を避ける反発核との間の双対性を探索し、より深い幾何的構造を明らかにすること。
• インデックスが非自明な射影的不変量であることを示し、交比やハウスドルフ次元と同様に幾何的不変量理論における位置づけを明らかにすること。

提案手法

• 定理1で示される5つの条件の同値性を用いて、射影的IFSが超平面を避ける吸引核を持つための条件を特徴づける。その条件には、超平面を避ける非空開集合上で収縮すること、および入れ子になった凸体の存在が含まれる。
• 射影的双対性を適用し、超平面を避ける吸引核と点を避ける反発核との間の関係を、随伴IFS $\mathcal{F}^t$ を用いて結びつける。
• 吸引核の「インデックス」を、特定の写像の合成が凸体を何周するかという回数として定義する。これは、元のIFS $\mathcal{F}$ から新しいIFS $\mathcal{G}$ を再帰的に構成することで実現される。
• 写像の合成を用いた構成により $\text{index}(\mathcal{G}) = \text{index}(\mathcal{F})$ を示し、インデックスが射影変換のもとで不変であることを証明する。
• 凸体上でのヒルベルト距離 $d_K$ を用いて、双リプシッツ同値性を確立し、射影写像のもとでハウスドルフ次元が不変であることを示す。
• スペクトル理論およびクレイン＝ルトマンの定理の結果を活用し、IFSのダイナミクスにおける不変構造の存在を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的IFSが超平面を避ける吸引核を持つための条件は何か？
• RQ2 射影的IFSにおける吸引核の一意性は、距離空間上の収縮性とは独立して確立可能か？
• RQ3 点と超平面の射影的双対性は、IFSの吸引核および反発核のダイナミクスにどのように現れるか？
• RQ4 新しい不変量「インデックス」の性質は何か？ そして射影変換のもとでどのように振る舞うか？
• RQ5 インデックスは非自明な射影的不変量であるか？ 交比やハウスドルフ次元と比べて、その性質はいかなるものか？

主な発見

• 射影的IFSは高々1つの吸引核しかもたない。これは射影的設定における根本的な一意性の性質を確立する。
• 吸引核が超平面を避けるための必要十分条件は、定理1の5つの同値条件として明確化されており、それは、超平面を避ける非空開集合上で収縮するIFSであることである。
• 超平面を避ける吸引核のインデックスは非自明な射影的不変量であり、本稿では円弧を含む特定の例で $\text{index}(A) = 2$ を証明している。
• 射影変換のもとでインデックスが不変であることは、元の $\mathcal{F}$ と同じインデックスを持つ新しいIFS $\mathcal{G}$ を構成することで示された。
• インデックスは凸体の選び方に依存せず、最終的に集合を真部分集合へ写す写像の再帰的合成によって定義される。
• ハウスドルフ次元は、ヒルベルト距離と円形距離の双リプシッツ同値性により、射影写像のもとで不変である。