[論文レビュー] Reality Conditions for Spin Foams

Suresh K Maran|ArXiv.org|Nov 3, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子重力におけるスピンフォームモデルの現実性条件を導入し、$SO(4,C)$一般相対性理論の複素化された一般相対性理論から物理的解を選び出すために、双ベクトル内積の現実性（実面積計量に同等）が有効であると提案する。バレット＝クラインモデルにこれらの条件を課すと、すべてのローレンツ型およびユークリッド型の符号形に対して一貫した量子理論が得られ、離散化された面積計量の現実性制約を通じて統一される。

ABSTRACT

An idea of reality conditions in the context of spin foams (Barrett-Crane models) is developed. The square of areas are the most elementary observables in the case of spin foams. This observation implies that simplest reality conditions in the context of the Barrett-Crane models is that the all possible scalar products of the bivectors associated to the triangles of a four simplex be real. The continuum generalization of this is the area metric reality constraint: the area metric is real iff a non-degenerate metric is real or imaginary. Classical real general relativity (all signatures) can be extracted from complex general relativity by imposing the area metric reality constraint. The Plebanski theory can be modified by adding a Lagrange multiplier to impose the area metric reality condition to derive classical real general relativity. I discuss the SO(4,C) BF model and SO(4,C) Barrett-Crane model. It appears that the spin foam models in 4D for all the signatures are the projections of the SO(4,C) spin foam model using the reality constraints on the bivectors.

研究の動機と目的

• コホーモロジカルな量子重力におけるものに類似した、スピンフォームモデルにおける一貫した現実性条件の概念を構築すること。
• 複素$SO(4,C)$スピンフォームモデルから実一般相対性理論を選び出すために必要な最小限の制約集合を同定すること。
• すべての時空符号形（ローレンツ型、ユークリッド型）におけるバレット＝クラインモデルを、面積計量の現実性に基づく共通の枠組みを通じて統一すること。
• 単体多様体における面積計量の現実性制約の離散化アナロジーを確立し、スピンフォームの量子幾何と結びつけること。

提案手法

• バレット＝クラインモデルにおいて、4単体の三角形面上の双ベクトルのスカラー積の現実性が、最も単純な現実性条件を定義すると提案する。
• 面積計量を介して連続的空間に一般化し、実面積計量が時空計量が実または虚数的であることを示す。
• $SO(4,C)$一般相対性理論のプレバンスキー形式を用い、現実性を強制するためのラグランジュ乗数を導入して面積計量の現実性制約を実装する。
• 単体的複体上での面積計量の現実性制約を離散化し、量子レベルで成立しなければならない双ベクトル内積の条件を導出する。
• $SO(4,C)$のユニタリ表現を用いて$SO(4,C)$バレット＝クラインモデルを構築し、インタービナーとスピンフォーム振幅を介して振幅を定義する。
• 同モデルを同次空間上での群場理論（GFT）として再定式化し、すべての三角形分割の和と、離散化に依存しない定式化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共変的スピンフォーム量子重力の枠組みにおいて、正準量子重力におけるものに類似した現実性条件をどのように定義できるか？
• RQ2 すべての符号形にわたって実一般相対性理論に対応する物理的理論を保証するための、双ベクトルに必要な最小限の制約集合は何か？
• RQ3 複素一般相対性理論において、面積計量の現実性は時空計量の現実性とどのように関係するか？
• RQ4 実一般相対性理論のバレット＝クラインモデルは、双ベクトル内積の現実性条件による射影として、$SO(4,C)$スピンフォームモデルから導出可能か？
• RQ5 群場理論（GFT）を用いて、離散化に依存しない形でスピンフォームモデルをどのように再定式化できるか？

主な発見

• 4単体の三角形面上のすべての双ベクトル内積の現実性は、面積計量の現実性に同等であり、それにより時空計量が実または虚数的であることが示される。
• 非退化計量に対しては、面積計量の現実性制約が計量が実または純虚数的であることを示し、複素$SO(4,C)$一般相対性理論から実一般相対性理論を選び出す。
• $SO(4,C)$バレット＝クラインモデルは親理論として機能し、すべての符号形における実バレット＝クラインモデルは、双ベクトル内積の現実性条件による射影として得られる。
• 双ベクトル内積の離散的現実性条件は、連続的面積計量の現実性制約の単体的アナロジーである。
• 一般相対性理論の$SO(4,C)$スピンフォームモデルは、$G=SO(4,C)$、$H=SL(2,C)$である同次空間$G/H$上での群場理論（GFT）として再定式化可能であり、すべての三角形分割の和を取ることが可能になる。
• $SO(4,C)$の表現論は、ユニタリインタービナーの構築に根拠を置き、量子振幅が現実性条件と整合的かつ適切に定義されることを保証する。