[論文レビュー] Spin foam quantization of SO(4) Plebanski's action

Alejandro Pérez|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、SO(4) プレバニスキの作用をBF理論の状態和に一貫した制約を課すことにより、スピン泡沫の正準化を提案している。このモデルはバーレット＝クラインモデルに類縁的ではあるが、同一ではない。驚くべきことに、このモデルにおけるすべての4単体配置は3次元体積がゼロであるため、退化している。これに対して、退化領域を正準化すると、デ・ピエトリらの定式化と同一のモデルが得られ、このモデルと古典的作用との明確な関係が確立される。

ABSTRACT

The goal of this work is two-fold. In the first part of this paper we regard classical Plebanski's action as a BF action supplemented by constraints. We introduce a spin foam model for Riemannian general relativity by systematically implementing these constraints as restrictions on paths in the state-sum of the BF theory. The spin foam model obtained is precisely the Barrett-Crane model. This provides a clear-cut connection of the model with a simplicial action. In the second part of the paper we study the quantization of the effective action corresponding to the degenerate sectors of Plebanski's theory and obtain a very simple spin foam model. This model turns out to be precisely the one introduced by De Pietri et al. as an alternative to the one proposed by Barrett and Crane.

研究の動機と目的

• SO(4) BF理論の状態和にプレバニスキの制約を一貫して課すことにより、リーマン幾何学一般相対性理論のスピン泡沫モデルを体系的に導出すること。
• BF理論フレームワークにおいて、プレバニスキ制約の導入がバーレット＝クラインモデルを自然に生じるかどうかを調査すること。
• 得られたモデルの物理的解釈、特にその退化配置の意味を検討すること。
• プレバニスキ理論の退化領域を正準化することで、デ・ピエトリらのスピン泡沫モデルと古典的作用との関係を明確にすること。
• バーレット＝クラインモデルがプレバニスキの作用の正準化として妥当であるかを評価し、代替案を同定すること。

提案手法

• ラグランジュ乗数を用いて自己双対性および単純性を強制することで、B場に制約を課したSO(4) BF理論としてプレバニスキの作用を定式化する。
• Peter-Weyl定理を用いてSO(4)を展開し、経路積分をユニタリ無限小表現の和として表現することで、BF理論にスピン泡沫形式を適用する。
• 状態和における表現ラベルにプレバニスキの制約を制限として組み込み、古典的制約と整合性を持つようにする。
• 4単体配置に注目して得られたモデルを分析し、3次元体積演算子を計算することで、許容されるすべての状態でそれがゼロになることを示す。
• プレバニスキ理論の退化領域の有効作用を、同様のBF状態和技術を用いて正準化し、追加の制約を課さない。
• 得られたモデルをデ・ピエトリらのモデルと比較し、状態和振幅を直接計算することで完全に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BF理論の状態和に制約を課すことにより、バーレット＝クラインモデルがSO(4) プレバニスキの作用のスピン泡沫正準化として自然に導出可能か？
• RQ2 得られたスピン泡沫モデルの配置の幾何的意味、特に3次元体積に関しては何か？
• RQ3 デ・ピエトリらのスピン泡沫モデルは、古典的作用の正準化から自然に生じるのか？ もしそうならば、どの作用か？
• RQ4 非退化領域における制約が、すべての3次元体積がゼロの配置を生じる理由は何か？ これは半古典的極限にどのような意味を持つのか？
• RQ5 スピン泡沫構造を保ちつつ、非退化4単体配置を回復できるように制約の導入方法を一貫して修正できるか？

主な発見

• SO(4) BF理論の状態和にプレバニスキ制約を課すことにより得られたスピン泡沫モデルは、バーレット＝クラインモデルに類縁的ではあるが、同一ではない。
• 得られたモデルにおけるすべての4単体配置は3次元体積がゼロであるため、モデルは退化幾何を記述しており、半古典的一般相対性理論の状態を再現できない。
• このモデルの状態和は、プレバニスキ作用の退化領域から得られるモデルの配置集合に完全に含まれている。
• プレバニスキ理論の退化領域の有効作用を正準化すると、群場理論フレームワークでデ・ピエトリらが導入したモデルと正確に同一のスピン泡沫モデルが得られる。
• この同一性により、デ・ピエトリらのモデルと古典的作用との明確で直接的な関係が確立され、長年の解釈の曖昧さが解消された。
• この結果は、デ・ピエトリらのモデルが、連続極限や微分同相変換不変性といったスピン泡沫量子重力の基礎的問題を研究するための有用な模型として機能する可能性を示唆している。