[論文レビュー] Realizability in OCAs and AKSs

Walter Ferrer Santos, Mauricio Guillermo+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Atrial Fibrillation Management and Outcomes参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、順序付き組合せ代数（OCAs）および抽象クリーニュ構造（AKSs）における新しい閉包作用素と関連する写像を導入し、適用と含意の操作の間で完全な随伴関係を実現する。新しいOCAs、$ olimits\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$を構成することで、従来の構成よりも強い随伴性を達成し、AKSからtriposをより単純かつ直接的に導出可能にした。これにより、クリーニュの古典的実現可能性のより洗練された圏論的実現が得られる。

ABSTRACT

In the context of the $\mathcal{OCA}$ associated to an ${\mathcal{AKS}}$ we introduce a closure operator and two associated maps that replace the closure and the maps defined in \cite{kn:ocar}. We were motivated by the search of a full adjunction to the original implication map. We show that all the constructions from $\mathcal{OCA}$s to triposes developped in \cite{kn:ocar} can be also implemented in the new situation.

研究の動機と目的

• 従来の実現可能性構成において、適用と含意の間の完全な随伴性が欠落していた問題を解決すること。
• 実現可能性構造の圏論的性質を改善するための新しい閉包作用素と関連写像を開発すること。
• 「随伴子」と呼ばれる特別な項を用いて、AKSから全随伴性を実現する新しいOCAs、$\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$を構成すること。
• この新しいOCAsが、従来の方法から得られるtriposと同等のものであることを示し、古典的実現可能性の圏論的実現をより洗練させること。
• OCAsからtriposへの標準的構成が、構造的性質を向上させつつ再現可能であるフレームワークを提供すること。

提案手法

• OCAs上で新しい閉包作用素$(-)\,\widehat{}$と有界積$\sharp$を導入し、[5]で用いられていた元の閉包作用素と写像を置き換える。
• 極性と閉包作用素を用いて実現可能性ラティスを定義し、二重直交補完と新しい$(-)\,\widehat{}$作用素を含む。
• 適用／含意に類似した三組の導出子とプッシュ操作のペアを導入し、随伴性の挙動をより良く捉える。
• 「随伴子」と呼ばれる特別な項を用いて、$\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$を定義し、適用と含意の間で完全な随伴性を回復する。
• AKS $\mathcal{K}$ からインデックス付き順序集合$\mathbf{P}_{\bullet}(\mathcal{K})$を構成し、それが$\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet})$と同型であることを示す。
• 関連図式の可換性（同値関係まで）を用いて、$\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$から得られるtriposと従来の方法から得られるtriposが同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部仮定に依存せずに、実現可能性構造において適用と含意の間で完全な随伴性を達成できるか。
• RQ2 OCAsにおける閉包作用素と写像をどのように再定義すれば、随伴性の挙動を改善できるか。
• RQ3 直接的に全随伴性を持つtriposを構成できるようにするため、AKSまたはOCAに必要な構造的変更は何か。
• RQ4 新しいOCAs $\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$は、得られるtriposの観点から既存の構成と同等か。
• RQ5 OCAsからtriposへの標準的経路を保ちつつ、構成の圏論的性質を向上させることは可能か。

主な発見

• 新しい閉包作用素$(-)\,\widehat{}$と関連写像は、[5]および[13]で用いられた二重直交補完構成よりもより良い振る舞いを示す。
• 新しいOCAs $\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$に「随伴子」と呼ばれる項を導入することで、適用と含意の間で完全な随伴性が実現され、従来の構成における主要な制限が解消された。
• AKS $\mathcal{K}$ から導かれるtripos $\mathbf{P}_{\bullet}(\mathcal{K})$ は、新しいOCAs $\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$ から導かれるtripos $\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet})$ と同型である。これにより、等価性が確立された。
• $\mathcal{A}_{\mathcal{K},\bullet}$ からtriposを構成するプロセスは[5]と同一であるが、改善された随伴性のおかげで、より強い圏論的性質を持つようになった。
• 標準的包含写像$\mathbf{P}_{\bullet}(\mathcal{K}) \hookrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{K})$ は、インデックス付き順序集合としての同値である。これは、標準的実現可能性意味論と整合していることを確認する。
• 構成の図式は同値関係まで可換であり、$\mathbf{P}(\mathcal{A})$ と $\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\mathcal{K}_{\mathcal{A}\bullet}\bullet})$ が同値なtriposであることを保証する。