[論文レビュー] Realizations of simple affine vertex algebras and their modules: the cases $\widehat{sl(2)}$ and $\widehat{osp(1,2)}$

Dražen Adamović|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、最小限のヴァイラソロ、$N=1$ ネヴェウ＝シュヴァルツ、および格子ボソン型頂点代数のテンソル積の中に、$V_k(\text{sl}(2))$ および $V_k(\text{osp}(1,2))$ の単純なアフィン頂点代数を、整数でない非負整数でないレベル $k \notin \mathbb{Z}_{\geq 0}$ で実現する。これらの埋め込みを用いて、ウェイト、ホイットaker、対数的、および緩い最高ウェイト加群の族を構成し、特徴関数の検証と加群の分解を用いて、$V_k(\text{sl}(2))$ の退化ホイットaker加群の分類と非可約性を証明する。

ABSTRACT

We study embeddings of the simple admissible affine vertex algebras $V_k(sl(2))$ and $V_k(osp(1,2))$, $k otin {\Bbb Z}_{\ge 0}$, into the tensor product of rational Virasoro and $N=1$ Neveu-Schwarz vertex algebra with lattice vertex algebras. We prove that the admissible affine vertex algebra $V_k(sl(2))$ can be embedded into vertex algebra $L^{Vir} (c_{p,p'}, 0) \otimes Π(0)$ where $L^{Vir} (c_{p,p'}, 0) $ is suitable minimal Virasoro vertex algebra and $Π(0)$ is a vertex algebra of lattice type. By using these realizations we construct a family of weight, logarithmic and Whittaker $\widehat{sl(2)}$ and $\widehat{osp(1,2)}$--modules. As an application, we construct all irreducible degenerate Whittaker modules for $V_k(sl(2))$.

研究の動機と目的

• アフィン頂点代数 $V_k(\text{sl}(2))$ および $V_k(\text{osp}(1,2))$ を、最小限のヴァイアソロ、$N=1$ ネヴェウ＝シュヴァルツ、および格子頂点代数を含むテンソル積の部分代数として、許容的レベルで明示的に実現すること。
• これらの代数に対して、対数的、ホイットaker、および緩い最高ウェイト加群の頂点代数的構成を提供すること。
• 実現された構造を用いて、$V_k(\text{sl}(2))$ の退化ホイットaker加群の分類と非可約性を証明すること。
• 実現フレームワークを $\text{osp}(1,2)$ に拡張し、$\widehat{osp(1,2)}$-加群の特徴関数を確立すること。

提案手法

• レベル $k+2 = p/p'$、$p,p' \geq 2$、$(p,p')=1$ のとき、非自明な準同型 $\Phi_1: V_k(\text{sl}(2)) \to L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},0) \otimes \Pi(0)$ を用いて $V_k(\text{sl}(2))$ を埋め込む。
• レベル $k+3/2 = p/(2q)$、$p,q \geq 2$、$(\frac{p-q}{2},q)=1$ のとき、$V_k(\text{osp}(1,2))$ を $L^{\text{ns}}(c_{p,q},0) \otimes F \otimes \Pi^{1/2}(0)$ の部分代数として実現する。
• ヘイゼンベルクおよびフェルミオン的頂点代数構造を用いて、$\Pi(0)$-加群のウェイトおよびホイットaker加群を構成する。
• 既知の特徴関数を活用して、緩い最高ウェイト $V_k(\text{sl}(2))$-加群を $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ として実現する。
• スクリーニング作用素と加群の分解を用いて、対数的 $V_k(\text{sl}(2))$-加群を構成する。
• 特徴関数の一致と $V_k(\text{sl}(2))$-加群の同型を用いて、ホイットakerおよび緩い加群の非可約性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 許容的レベルにおける単純なアフィン頂点代数 $V_k(\text{sl}(2))$ および $V_k(\text{osp}(1,2))$ は、最小限のヴァイアソロ、$N=1$ ネヴェウ＝シュヴァルツ、および格子頂点代数のテンソル積の部分代数として実現可能か？
• RQ2 このような実現を通じて、$V_k(\text{sl}(2))$ および $V_k(\text{osp}(1,2))$ のホイットaker、対数的、および緩い最高ウェイト加群の構造はどのようなものか？
• RQ3 実現 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ から、非可約な緩い $V_k(\text{sl}(2))$-加群の特徴関数を回復できるか？
• RQ4 構成された $V_k(\text{sl}(2))$ のホイットaker加群は退化的かつ非可約的であり、$A_1^{(1)}$-ホイットaker加群の分類を完全に埋め合わせるか？
• RQ5 実現フレームワークを $\text{osp}(1,2)$ に拡張し、既知の特徴関数を持つ $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-次数付き加群の構成と分類に用いることができるか？

主な発見

• レベル $k+2 = p/p'$、$p,p' \geq 2$、$(p,p')=1$ のとき、非自明な準同型 $\Phi_1: V_k(\text{sl}(2)) \to L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},0) \otimes \Pi(0)$ が存在し、頂点代数的実現を確立する。
• すべての緩い最高ウェイト $V_k(\text{sl}(2))$-加群は $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ として実現され、その特徴関数はクレーツィグ＝ライドウトの公式と一致する。
• 退化ホイットaker加群は $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_\lambda$ として実現され、$A_1^{(1)}$-ホイットaker加群の分類を完全に完成させる。
• スクリーニング作用素を用いて、テンソル積構造に作用させることで、対数的 $V_k(\text{sl}(2))$-加群が構成される。
• 非可約な $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-次数付き $V_k(\text{osp}(1,2))$-加群 $\mathcal{F}^\lambda$ は $L^{\text{Vir}}(d_{3,4},\frac{1}{16}) \otimes \Pi_{-1}^{1/2}(\lambda)$ として実現され、特徴関数は $z^{2\lambda-k}\frac{f_2(\tau)\delta(z)}{\sqrt{2}\eta(\tau)^2}$ である。
• ホイットaker加群 $M^\pm \otimes \Pi_\lambda$ は $V_k(\text{osp}(1,2))$-加群として非可約であり、非可約な $V_k(\text{sl}(2))$-加群への同型を用いて証明される。