[論文レビュー] Recent results on the Kobayashi and Green-Griffiths-Lang conjectures

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 101被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素射影空間内の一般の高次元超曲面の双曲性に関する小林予想の簡略化された証明を提示する。$ d_n = \lfloor \frac{1}{3}(en)^{2n+2} \rfloor $ に対して、このような超曲面が代数的ジェット双曲的であることを確立する。この手法はジェットバンドル、乗数イデアル、およびワロンスキー作用素を用い、整値曲線の非存在を証明することで、接バンドルの強い一般型条件に基づくグリーン＝グリフィス＝ラング予想の進展を図る。

ABSTRACT

The study of entire holomorphic curves contained in projective algebraic varieties is intimately related to fascinating questions of geometry and number theory -- especially through the concepts of curvature and positivity which are central themes in Kodaira's contributions to mathematics. The aim of these lectures is to present recent results concerning the geometric side of the problem. The Green-Griffiths-Lang conjecture stipulates that for every projective variety $X$ of general type over~${\\mathbb C}$, there exists a proper algebraic subvariety $Y$ of $X$ containing all non constant entire curves $f:{\\mathbb C}\ o X$. Using the formalism of directed varieties and jet bundles, we show that this assertion holds true in case $X$ satisfies a strong general type condition that is related to a certain jet-semistability property of the tangent bundle $T\\_X$. It is possible to exploit similar techniques to investigate a famous conjecture of Shoshichi Kobayashi (1970), according to which a generic algebraic hypersurface of dimension $n$ and of sufficiently large degree $d\\ge d\\_n$ in the complex projective space $\\bP^{n+1}$ is hyperbolic: in the early 2000's, Yum-Tong Siu proposed a strategy that led in 2015 to a proof based on a clever use of slanted vector fields on jet spaces, combined with Nevanlinna theory arguments. In 2016, the conjecture has been settled in a different way by Damian Brotbek, making a more direct use of Wronskian differential operators and associated multiplier ideals; shortly afterwards, Ya Deng showed how the proof could be modified to yield an explicit value of $d\\_n$. We give here a short proof based on a drastic simplification of their ideas, along with a further improvement of Deng's bound, namely $d\\_n=\\lfloor\\frac{1}{5}(en)^{2n+2}\ floor$.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 内の一般超曲面の双曲性に関する小林予想の簡潔かつ効果的な証明を提供すること。
• 双曲性を保証する明示的かつ鋭い次数の境界 $ d_n $ を確立することにより、以前の推定値を改善すること。
• 接バンドルのジェット半安定性に関連する強い一般型条件の下で、グリーン＝グリフィス＝ラング予想が成立することを示すこと。
• ブロトベックと Deng の手法を統合・簡素化し、ワロンスキー微分作用素と乗数イデアルを用いること。

提案手法

• 指向多様体およびジェットバンドルの形式的枠組みを用いて、射影的多様体内の整値正則曲線を分析する。
• ジェット空間上でワロンスキー微分作用素を適用し、ねじれたジェットバンドルの非自明な切断を構成する。
• 乗数イデアルを用いてジェットバンドルの特異性と正性を制御し、アンプリチュードを保証する。
• 負の曲率を持つジェット計量におけるモース不等式を用いて、代数的双曲性を導出する。
• 負の曲率を持つジェットバンドル上の計量の文脈で、アーフォルス＝シュワーツの補題を適用する。
• 多様体 $ X $ における強い一般型条件（これは $ T_X $ のジェット半安定性を意味する）を活用し、すべての整値曲線上で消える非自明なジェット微分形式の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 内の一般超曲面が小林双曲的であるような最適な次数境界 $ d_n $ は何か？（$ d \geq d_n $）
• RQ2 一般型の射影的多様体 $ X $ に対して、どのような幾何的条件下でグリーン＝グリフィス＝ラング予想が成立するか？
• RQ3 ワロンスキー作用素と乗数イデアルを用いることで、小林予想の証明を簡略化できるか？
• RQ4 Brotbek や Deng が得た境界と比較して、$ d_n $ はどのように異なるか？さらに明示的であるか？
• RQ5 すべての $ n $ に対して有効な一様な境界 $ d_n $ は存在するか？また、多項式的または線形のオーダーに改善可能か？

主な発見

• 小林予想は、すべての $ n \geq 1 $ に対して $ d_n = \lfloor \frac{1}{3}(en)^{2n+2} \rfloor $ の一般超曲面に対して証明された。$ d_1 = 4 $、$ d_2 = 6685 $、$ d_3 = 2825761 $。
• この境界 $ d_n $ は、Ya Deng が得たものに非常に近く、漸近的順序ではわずかに異なる。
• 証明により、ねじれたジェットバンドルのアンプリチュードを介して、双曲性よりも強い性質である代数的ジェット双曲性が確立された。
• ワロンスキー作用素と乗数イデアルの使用を簡素化することで、Brotbek や Deng の以前の証明を洗練させた。
• $ n \geq 4 $ の場合、代替境界 $ d_n = \lfloor (n+4)(en)^{2n+1}/(2\pi) \rfloor $ も有効であり、既知の推定値とよく一致する。
• 結果として、接バンドルのジェット半安定性に関連する強い一般型条件の下で、グリーン＝グリフィス＝ラング予想が成立することが確認された。