[論文レビュー] Recompression: a simple and powerful technique for word equations

Artur Jeż|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、語方程式を解くための新しい局所的再圧縮技術を導入し、変数を置き換え、文字ペアを圧縮することで、解のためのストレートラインプログラム（SLP）を構築する。この手法は自己完結的で、O(n log n) の空間で動作し、n と log N に関して多項式時間内に終了する。解のサイズと周期性の指数に関する二重指数関数的境界を、先行研究に依存せずに示す。

ABSTRACT

In this paper we present an application of a simple technique of local recompression, previously developed by the author in the context of compressed membership problems and compressed pattern matching, to word equations. The technique is based on local modification of variables (replacing X by aX or Xa) and iterative replacement of pairs of letters appearing in the equation by a `fresh' letter, which can be seen as a bottom-up compression of the solution of the given word equation, to be more specific, building an SLP (Straight-Line Programme) for the solution of the word equation. Using this technique we give a new, independent and self-contained proofs of most of the known results for word equations. To be more specific, the presented (nondeterministic) algorithm runs in O(n log n) space and in time polynomial in log N, where N is the size of the length-minimal solution of the word equation. The presented algorithm can be easily generalised to a generator of all solutions of the given word equation (without increasing the space usage). Furthermore, a further analysis of the algorithm yields a doubly exponential upper bound on the size of the length-minimal solution. The presented algorithm does not use exponential bound on the exponent of periodicity. Conversely, the analysis of the algorithm yields an independent proof of the exponential bound on exponent of periodicity. We believe that the presented algorithm, its idea and analysis are far simpler than all previously applied. Furthermore, thanks to it we can obtain a unified and simple approach to most of known results for word equations. As a small additional result we show that for O(1) variables (with arbitrary many appearances in the equation) word equations can be solved in linear space, i.e. they are context-sensitive.

研究の動機と目的

• 局所的再圧縮を用いた、語方程式を解くための新しい自己完結的アルゴリズムの開発。
• 語方程式理論における主要な結果、特に解のサイズと周期性に関する境界の独立的証明。
• k 個の変数を含む満たされる語方程式の集合がコンテキストセンシティブであることを示すこと。
• アルゴリズムを一般化し、空間使用量を増加させずにすべての解を生成できることを示すこと。
• アルゴリズムの解析のみを用いて、長さ最小解のサイズに対する二重指数関数的上界を確立すること。

提案手法

• 変数を aX または Xa に置き換えることで、方程式を単純化する。
• 相異なる文字ペア ab (a ≠ b) を反復的に新しい文字に置き換え、解を下から上へ圧縮する。
• 解のためのストレートラインプログラム（SLP）を構築し、効率的な表現と操作を可能にする。
• アルゴリズムは段階を経て動作し、各段階で解の長さが有界な要因で減少し、終了を保証する。
• 代入の正当性を確認するために SLP 同値性テストを用い、既知の多項式時間法を活用する。
• 各段階における解の長さの減少を追跡することで、解のサイズと周期性に関する境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純で局所的な再圧縮技術を用いて、従来のアルゴリズムに依存せずに、語方程式を効率的に解くことができるか？
• RQ2 語方程式の長さ最小解の最大サイズは何か？ そして、それを独立に境界づけることができるか？
• RQ3 解における周期性の指数の上界は何か？ そして、アルゴリズムの挙動から導出可能か？
• RQ4 空間計算量を増加させずに、アルゴリズムをすべての解を生成できるように拡張できるか？
• RQ5 再圧縮プロセス自体が、その構造的性質によって、解のサイズと周期性に関する境界を内蔵的に得られるか？

主な発見

• アルゴリズムは O(n log n) の空間で動作し、n と log N に関して多項式時間内に終了する。ここで n は入力サイズ、N は長さ最小解のサイズである。
• 長さ最小解のサイズは、ある多項式 q と定数 c に対して 2^{q(n)·n_v^{c n_v}} で有界であり、二重指数関数的上界を示している。
• 解における周期性の指数は、指数関数的関数で有界であり、アルゴリズムの圧縮挙動から独立に導出されたものである。
• Makanin の元々の指数関数的境界に依存せずに、二重指数関数的解のサイズの上界を自己完結的に証明した。
• 変数の数が定数のとき、空間計算量は O(m) で線形である。ここで m は入力サイズである。これは、k 変数語方程式がコンテキストセンシティブであることを示唆する。
• アルゴリズムは、空間使用量を増加させずにすべての解を生成できるように拡張可能であり、同じ複雑度の境界を維持する。