[論文レビュー] Reduced order models for the incompressible Navier-Stokes equations on collocated grids using a 'discretize-then-project' approach

Sabrina Kelbij Star, Benjamin Sanderse+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、圧力安定化や境界制御技術を必要とせず、コロケートドグリッド上での非圧縮性ナビエ-ストークス流れに対する新しい「離散化後に投影する」低次元モデル（ROM）を提案する。完全に離散化された有限体積FOM（いずれかの不一致または一貫性のあるフラックス時間離散化を用いて）を低次元基底上に投影することにより、正確で発散なしの速度場を達成し、著しい高速化を実現する。特に、不一致フラックス法を用いたオープンキャビティ流れでは、最大100倍の高速化が観察された。

ABSTRACT

A novel reduced order model (ROM) for incompressible flows is developed by performing a Galerkin projection based on a fully (space and time) discrete full order model (FOM) formulation. This 'discretize-then-project' approach requires no pressure stabilization technique (even though the pressure term is present in the ROM) nor a boundary control technique (to impose the boundary conditions at the ROM level). These are two main advantages compared to existing approaches. The fully discrete FOM is obtained by a finite volume discretization of the incompressible Navier-Stokes equations on a collocated grid, with a forward Euler time discretization. Two variants of the time discretization method, the inconsistent and consistent flux method, have been investigated. The latter leads to divergence-free velocity fields, also on the ROM level, whereas the velocity fields are only approximately divergence-free in the former method. For both methods, accurate results have been obtained for test cases with different types of boundary conditions: a lid-driven cavity and an open-cavity (with an inlet and outlet). The ROM obtained with the consistent flux method, having divergence-free velocity fields, is slightly more accurate but also slightly more expensive to solve compared to the inconsistent flux method. The speedup ratio of the ROM and FOM computation times is the highest for the open cavity test case with the inconsistent flux method.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ-ストークス方程式の低次元モデル（ROM）を構築し、コロケートドグリッド上での圧力安定化や境界制御技術を回避すること。
• 一貫性のあるフラックス時間離散化法を用いることで、ROMにおける離散的発散なしの速度場を保証すること。
• 産業的CFDコードで一般的に用いられるコロケートドグリッド上でも、効率的で正確かつ安定したROMを実現すること。
• リーマン・ドライブドキャビティやオープンキャビティを含む、境界条件が異なるベンチマークテストケースにおける本手法の性能を示すこと。
• 不一致フラックスと一貫性のあるフラックスのROM定式化の間で、高速化と精度のトレードオフを定量化すること。

提案手法

• 本手法は「離散化後に投影する」アプローチを採用し、完全な次元モデル（FOM）を空間的・時間的に完全に離散化した後、低次元基底上に投影する。
• コロケートドグリッド上では、前進オイラー時間積分法を用いた有限体積法を採用し、2つのバージョンを用いる：不一致フラックス（セル中心での速度のみ）と一貫性のあるフラックス（面速度を強制的に満たすことで離散的発散なし条件を満たす）。
• 適切な直交分解（POD）を用いて、FOMのスナップショットから低次元基底を生成する。
• ガリルキン射影を完全に離散化されたFOM方程式に適用し、運動量方程式および連続の式を低次元基底空間に射影する。
• 境界条件は、FOMの離散的境界ベクトルを低次元基底に射影することでROMレベルで実装され、ペナルティ関数やリフト関数の使用が不要になる。
• 得られたROMは、低次元自由度でリアルタイムに解かれるため、パラメトリックおよびリアルタイムシミュレーションが高速に可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロケートドグリッド上での非圧縮性ナビエ-ストークス流れの低次元モデルを、圧力安定化技術を必要とせずに構築可能か？
• RQ2 ペナルティ関数やリフト関数などの境界制御手法を用いずに、ROMで境界条件を正確に実装可能か？
• RQ3 不一致フラックスと一貫性のあるフラックス時間離散化の選択が、ROMの精度および計算コストに与える影響は？
• RQ4 さまざまな流れ配置において、FOMと比較してROMが達成可能な高速化率は？
• RQ5 低次元基底モード数が、ROMの事前計算フェーズとオンラインフェーズに与える影響は？

主な発見

• 一貫性のあるフラックス法を用いたROMは、離散的レベルで発散なしの速度場を生成し、不一致フラックス法よりもわずかに高い精度を達成する。
• 不一致フラックス法は、オープンキャビティテストケースで最大100倍の高速化率を達成し、リーマン・ドライブドキャビティケースを上回る性能を示した。
• 一貫性のあるフラックス法は、面速度の追加方程式のためわずかに計算コストが高くなるが、より良い安定性と精度を維持する。
• 本手法は、圧力安定化や境界制御技術の必要性を完全に排除し、実装を簡素化するとともに、耐障害性を向上させる。
• 高次元モード数では事前計算フェーズが支配的になるが、テストされた設定ではこれが制限要因とはならなかった。
• 分離可能な作用素を用いることで、本手法はパrametric問題、特に時間依存および物理的パrameter（粘性係数など）を含む問題へも拡張可能である。