[論文レビュー] Reduction and submanifolds of generalized complex manifolds

Izu Vaisman|ArXiv.org|Nov 1, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化複素構造、パラ複素構造、部分接続構造を、一般化された複素幾何学的構造に統一的に扱うために、ポisson幾何学とディラック構造を用いて、Marsden-Ratiu型およびMarsden-Weinstein型の幾何的還元定理を、滑らかな多様体上の一般化された複素構造、パラ複素構造、部分接続構造に対して確立する。古典的テンソル場を用いて、誘導された一般化構造を有する部分多様体を特徴づけ、ポisson-Dirac部分多様体に加え、不変な法束を持つ部分多様体が、整合性のある誘導構造をもたらすことを示す。

ABSTRACT

We recall the presentation of the generalized, complex structures by classical tensor fields, while noticing that one has a similar presentation and the same integrability conditions for generalized, paracomplex and subtangent structures. This presentation shows that the generalized, complex, paracomplex and subtangent structures belong to the realm of Poisson geometry. Then, we prove geometric reduction theorems of Marsden-Ratiu and Marsden-Weinstein type for the mentioned generalized structures and give the characterization of the submanifolds that inherit an induced structure via the corresponding classical tensor fields.

研究の動機と目的

• ポアソン幾何学を用いて、一般化複素構造、パラ複素構造、部分接続構造へのMarsden-RatiuおよびMarsden-Weinstein還元定理の拡張を図ること。
• 周囲の多様体から誘導された一般化構造を有する部分多様体を特徴づけること。
• 誘導構造の整合性に与えるポアソン-ディラック部分多様体および不変な法束の役割を明確にすること。
• 古典的テンソル場とカウランス括弧を用いて、一般化複素構造、パラ複素構造、部分接続構造の統一的取り扱いを図ること。
• ヒチンペアおよびニエンヘイズテンソルを用いて、誘導された一般化構造の理解のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 一般化複素構造、パラ複素構造、部分接続構造を、ポアソン反対称テンソルおよびニエンヘイズテンソルを含む古典的テンソル場として表現する。
• 一般化接バンドル $ T^{\text{big}}M = TM \oplus T^*M $ 上のカウランス括弧を用いて、整合性条件を定義する。
• 部分多様体と制御ベクトルバンドルを用いて、Marsden-Ratiu還元フレームワークを適用し、還元された一般化構造を構成する。
• 制御バンドルがハミルトニアン作用から生じる場合、Marsden-Weinstein還元を特別な場合として適用する。
• ディラック固有バンドルの引き戻しと、周囲構造のカウランス-ニエンヘイズねじれの整合性を用いて、部分多様体上の誘導構造を特徴づける。
• 誘導構造の整合性が、周囲構造の整合性および部分多様体がポアソン-ディラックかつ不変であるという条件から導かれることが確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Marsden-RatiuおよびMarsden-Weinstein還元定理は、一般化複素構造、パラ複素構造、部分接続構造を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化複素多様体のどの部分多様体が、明確に定義された誘導された一般化構造を有するか？
• RQ3 部分多様体上の誘導構造が整合的であることを保証する条件は何か？
• RQ4 ポアソン-ディラック部分多様体および不変な法束は、誘導された一般化構造の存在および整合性とどのように関係するか？
• RQ5 誘導テンソル場を用いて、ポアソン-ニエンヘイズ部分多様体の概念を一般化構造に自然に拡張できるか？

主な発見

• 一般化、複素、パラ複素、部分接続構造は、古典的テンソル場とポアソン幾何学に基づく共通の枠組みの下で統一される。
• Marsden-Ratiu還元定理は、これらの構造へ一般化され、還元構造は、元の構造および部分多様体が適切な条件を満たす場合、整合性を保つ。
• 制御バンドルがハミルトニアン作用から生じる場合、Marsden-Weinstein還元が特別な場合として回復される。
• 誘導された一般化構造を有する部分多様体は、必ずポアソン-ディラック部分多様体でなければならない。さらに、周囲構造が整合的で、部分多様体が不変である場合、誘導構造も整合的である。
• 非退化な一般化されたc.p.s.構造に対しては、部分多様体が対応するポアソン構造のシンプレクティック部分多様体である場合、誘導構造は整合的である。
• ポアソン-ディラックかつ不変な部分多様体上での誘導された一般化構造は整合的であり、誘導されたポアソン-ニエンヘイズ階層は、周囲の階層と整合的である。