[論文レビュー] Reduction of twisted generalized Kähler structure

Yi Lin, Susan Tolman|ArXiv.org|Oct 1, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、一般化されたKähler還元の理論を、$H$-twistedな状況に拡張するために、twisted一般化されたモーメント写像とモーメント1形式を導入し、自由な群作用の下での$H$-twisted一般化されたKähler構造の還元を可能にする。主な結果は、商空間がwell-definedな$\widetilde{H}$-twisted一般化されたKähler構造を引き継ぎ、型不変量が安定化部分群およびバンドル幾何に応じて保存または調整されることである。

ABSTRACT

We show that our earlier work in \cite{LT05} extends to the twisted case, that is, we defined a notion of moment map and reduction in both twisted generalized complex geometry and twisted generalized Kähler geometry.

研究の動機と目的

• LinとTolman [LT05] の還元フレームワークを、$H$-twisted一般化複素およびKähler幾何に一般化すること。
• $H$-twisted Courant括弧に整合するtwisted一般化モーメント写像とモーメント1形式を定義すること。
• 自由な群作用の下でのtwisted一般化Kähler多様体の商がwell-definedな$\widetilde{H}$-twisted一般化Kähler構造を引き継ぐことを確立すること。
• 特に安定化部分群と固有バンドル幾何との関係において、型不変量の還元における振る舞いを明確にすること。

提案手法

• 等変コhomologyとCartanモデルを用いて、[LT05] のモーメント写像形式を$H$-twisted設定に適応する。
• $f: M \to \mathfrak{g}^*$ と $\alpha \in \Omega^1(M, \mathfrak{g}^*)$ なるtwisted一般化モーメント写像およびモーメント1形式を定義し、$H + \alpha$ が等変的に閉じていることを満たす。
• $f^{-1}(\mathcal{O}_a)$ 上の接続 $\theta$ を用いて、一般化複素構造の$\Gamma$-変換を構成し、$H$ から $H - d\Gamma$ へのねじれのシフトを実現し、商構造を誘導する。
• $B$-変換不変性原理を適用して、商上の結果となるtwisted一般化複素構造が接続の選択に依存しない（$B$-変換を除いて）ことを示す。
• 主$G$-バンドル $f^{-1}(\mathcal{O}_a) \to M_a$ 上の標準接続を用いて、商空間上の誘導された$\widetilde{H}$-twistを定義する。
• 商空間の各点における一般化複素構造の型が、元の型および水平分布と$\sqrt{-1}$-固有バンドルの交差の次元によって決定されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 [LT05] の一般化Kähler還元手順を、$H$-twisted一般化Kähler構造の状況にどのように拡張できるか。
• RQ2 well-definedなtwisted一般化Kähler商が存在するためには、モーメント写像とモーメント1形式が満たすべき条件は何か。
• RQ3 商空間上のねじれ形式$\widetilde{H}$は、元のねじれ$H$および群作用の幾何とどのように関係するか。
• RQ4 twisted設定における還元において、一般化複素構造の型不変量の振る舞いはいかなるものか。
• RQ5 元の多様体が非twistであったとしても、非自明なtwistをもつ商が生じ得るか、そのような状況はどのような条件下で生じるか。

主な発見

• 商空間 $M_a = f^{-1}(\mathcal{O}_a)/G$ は、$\widetilde{H}$-twisted一般化Kähler構造 $(\widetilde{\mathcal{J}}_1, \widetilde{\mathcal{J}}_2)$ を引き継ぎ、$\widetilde{H}$ は標準接続と等変的に閉じた形式 $H + \alpha$ から導かれる。
• $\widetilde{\mathcal{J}}_1$ の型は、各点 $[m]$ で元の $\mathcal{J}_1$ の型に等しく、還元において複素構造の型が保存されることを示す。
• $\widetilde{\mathcal{J}}_2$ の型は $\frac{1}{2}\dim G + \frac{1}{2}\dim K - 2\dim(\mathfrak{h}_M \cap \pi(L_2))_m$ だけ減少し、これにより安定化部分群およびバンドル幾何が反映される。
• $H = 0$ であっても、モーメント1形式 $\alpha$ が非自明であれば、商は非自明なねじれ $\widetilde{H} \neq 0$ を引き継ぐ可能性があり、還元からねじれが生じうることを示している。
• 商上の結果となるtwisted一般化Kähler構造は、接続の選択に依存しない（$B$-変換を除いて）ため、幾何的整合性が保証される。
• 本構成は [LT05] の既存結果を一般化し、KapustinとLiが提案したtwisted一般化Kähler幾何における還元のフレームワークを提供する。