[論文レビュー] Reductions of piecewise-trivial principal comodule algebras

Piotr M. Hajac, Jan Rudnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何学的基準を用いて、区分的自明な主コモジュール代数の還元を定式化し、古典的 bundle 還元理論を一般化する。主コモジュール代数が商ホップ代数へ還元可能であるための必要十分条件を示しており、それは、移行関数がホップイデアルを消滅させ、かつそのイデアルによる不変量への作用が自明であるような区分的自明化が存在することである。この結果は、量子化された $\mathbb{R}P^2$ と、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-バンドルの非自明な $U(1)$-延長の具体例を通じて検証されている。

ABSTRACT

Let $G'$ be a closed subgroup of a topological group $G$. A principal $G$-bundle $X$ is reducible to a locally trivial principal $G'$-bundle $X'$ if and only if there exists a local trivialisation of $X$ such that all transition functions take values in $G'$. We prove a noncommutative-geometric counterpart of this theorem. To this end, we employ the concept of a piecewise-trivial principal comodule algebra as a replacement of a locally trivial compact principal bundle. To illustrate our theorem, first we define a new noncommutative deformation of the $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-principal bundle $S^2 ightarrow \mathbb{R}P^2$ that yields a piecewise-trivial principal comodule algebra. It is the C*-algebra of a quantum cube whose each face is given by the Toeplitz algebra. The $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-invariant subalgebra defines the C*-algebra of a quantum $\mathbb{R}P^2$. It is given as a triple-pullback of Toeplitz algebras. Next, we prolongate this noncommutative $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-principal bundle to a noncommutative $U(1)$-principal bundle, so that the former becomes a reduction of the latter thus instantiating our theorem. Moreover, using K-theory results, we prove that the prolongated noncommutative bundle is not trivial.

研究の動機と目的

• 区分的自明な主コモジュール代数を用いた、非可換幾何における主バンドル還元理論の古典的理論への一般化。
• このようなコモジュール代数が商ホップ代数へ還元可能であるための基準の提供。
• $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-主バンドル $S^2 \to \mathbb{R}P^2$ の非可換変形を、量子立方体とトーベルツ代数を用いて構成・解析すること。
• K理論を用いて、この $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-バンドルを $U(1)$-バンドルに延長したものが非自明であることを示すこと。

提案手法

• 非リーな設定における局所自明性の代わりに、コモジュール代数の有限閉被覆を用いて区分的自明性を定義する。
• ホップ–ガロア還元定理を用いて、還元イデアルと等変な代数準同型の関係を関係づける。
• トーベルツ代数の三重引き戻しとして、量子立方体の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-不変部分代数を実現することで、量子 $\mathbb{R}P^2$ を構成する。
• $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-バンドルを、構造代数を $U(1)$-コモジュール代数に拡張することで $U(1)$-バンドルに延長する。
• K理論を適用して、延長されたバンドルが非自明であることを証明し、それがグローバルセクションを持たないことを示す。
• ミヤシタ–ウルブリッヒ作用とコアクション不変性を用いて、代数準同型と余不変量上の写像の対応を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的自明な主コモジュール代数が、商ホップ代数上の主コモジュール代数に還元可能となる条件は何か？
• RQ2 区分的自明化を用いることで、非可換幾何における移行関数によるバンドル還元の古典的概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-作用とトーベルツ代数的構造を持つ量子バンドルとして、$\mathbb{R}P^2$ の非可換変形を構成できるか？
• RQ4 $U(1)$-延長されたこの量子バンドルは自明か？K理論はその非自明性をどのように検出できるか？
• RQ5 ホップイデアルが余不変量上に作用する役割は、還元可能性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• ホップ代数 $H$ 上の主コモジュール代数 $P$ が、商ホップ代数 $H/J$ 上の主コモジュール代数に還元可能であるための必要十分条件は、すべての移行関数がホップイデアル $J$ を消滅させるような区分的自明化が存在することである。
• このような還元が存在するためには、$J$ が $H$-コアクション不変量の代数への作用が自明でなければならない。
• 新たな非可換変形 $S^2 \to \mathbb{R}P^2$ が、量子立方体の $C^*$-代数として構成され、各面がトーベルツ代数に同型である。
• この量子立方体の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-不変部分代数は、トーベルツ代数の三重引き戻しとして実現され、量子 $\mathbb{R}P^2$ の $C^*$-代数をなす。
• $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-主バンドルは $U(1)$-主バンドルに延長され、K理論を用いて非自明であることが証明された。
• $U(1)$-バンドルは自明でない。なぜなら、$\operatorname{Ker} \pi$-還元が存在するには $q^3 = 1$ が必要となるが、一般の $q$ では成立しないからである。