[論文レビュー] Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、炭素イとウォルターズの関係の双圏の理論を、図式的でワイヤリングに基づく形式的体系によって再解釈する。『関係的po-圏』を導入し、正則圏における双圏の関係の直接的公理的定式化を提供する。正則圏と関係的po-圏の2-圏同値性を確立し、関係的po-圏における左随伴の圏が元の正則圏を回復することを示す。証明はストリング図とハイパーグラフ圏構造を用いて簡潔に処理される。

ABSTRACT

Regular logic is the fragment of first order logic generated by $=$, $ op$, $\wedge$, and $\exists$. A key feature of this logic is that it is the minimal fragment required to express composition of binary relations; another is that it is the internal logic of regular categories. The link between these two facts is that in any regular category, one may construct a notion of binary relation using jointly-monic spans; this results in what is known as the bicategory of relations of the regular category. In this paper we provide a direct axiomatization of bicategories of relations, which we term relational po-categories, reinterpreting the earlier work of Carboni and Walters along these lines. Our main contribution is an explicit proof that the 2-category of regular categories is equivalent to that of relational po-categories. Throughout, we emphasize the graphical nature of relational po-categories.

研究の動機と目的

• 正則圏における関係の双圏を、先行するアレゴリーまたは双圏の関係フレームワークに依存せずに、直接的かつ公理的に特徴づけること。
• 『関係的po-圏』を導入し、正則論理と関係の論理的・圏論的本質を捉える最小構造として定式化すること。
• 正則圏と関係的po-圏の間の2-圏同値性を確立し、左随伴を用いて完全なデータ回復を示すこと。
• ハイパーグラフ圏に根ざした図式的でワイヤリングに基づく記法を用いて、カーボニとウォルターズの古典的結果を再形式化すること。
• ネットワーク的で図式的な形式的体系を通じて、正則論理の論理的・圏論的基盤を明確にすること。

提案手法

• モノイダルpo-圏に、有限集合のコスパンの双圏の反対圏からのモノイダル関手（ワイヤリング）の供給を備えた関係的po-圏を公理化し、論理的演算をモデル化する。
• ストリング図を用いて射およびその合成を表現し、対角写像と複写写像を『ワイヤー』として扱い、図式的推論を可能にする。
• 『前関係的po-圏』を、誘導されるコモノイド構造が緩いホモモーティックであるモノイダルpo-圏として定義し、方程式的に表現可能な論理的性質を可能にする。
• タブレーションを主要構造として導入：射が右随伴と左随伴の合成として因数分解可能で、同時に共同単射性を満たす場合、その射はタブレーションを有する。
• ハイパーグラフ圏構造を活用して証明を簡略化し、特にホムセットにおけるモジュラル法則および下界半束性質の証明に有効である。
• 図式的計算を用いて、モジュラル法則を、射の緩いコモノイドホモモーフィズム性から直接導出する。代数的変形を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則圏の関係の双圏は、アレゴリーまたは双圏の関係フレームワークに依存せずに、直接的に公理化可能か？
• RQ2 正則論理の完全な論理的内容（等価性、論理積、存在記号）を捉えるために、最小限の圏論的構造は何か？
• RQ3 図式的推論を用いて、正則圏とその関係の双圏の同値性をより明確に証明できるか？
• RQ4 カーボニとウォルターズの古典的結果は、合成性とモジュラリティを強調するワイヤリングに基づく図式的記法を用いて再導出可能か？
• RQ5 関係的po-圏、ユニタルタブラー代数的アレゴリー、正則圏の間の正確な関係は何か？

主な発見

• 正則圏の2-圏と関係的po-圏の2-圏は、正則圏からその関係の双圏への関手、およびその逆に左随伴の圏をとる関手によって同値である。
• 任意の関係的po-圏は、その左随伴の圏における関係の双圏として得られる。これにより、完全なデータ回復が保証される。
• 関係の双圏の構成は、元の正則圏のデータを一切忘れない。左随伴を用いることで、元の正則圏が完全に再構成可能である。
• 前関係的po-圏におけるモジュラル法則は、射の緩いコモノイドホモモーフィズム性から直接導かれる。洗練された図式的証明が可能である。
• 前関係的po-圏におけるホムセットは下界半束であり、2つの射を並列に接続する図式的『ワイヤリング』によって与えられる。
• 関係的po-圏は、正確にユニタルタブラー代数的アレゴリーに一致する。本研究とフレイドのアレゴリー枠組みとの直接的な関連が確立される。