[論文レビュー] Graphical Regular Logic

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、自由正則圏から導かれるストリング図を用いた図式的記法として、正則論理のためのグラフィカル正則論理を導入する。正則圏と正則計算機の間の圏的双対性を確立し、正則圏の圏が正則計算機の圏において本質的に反映的であることを示す。これは、完全に忠実なprd関手と本質的に全射なsyn関手を持つ随伴によって実現される。

ABSTRACT

Regular logic can be regarded as the internal language of regular categories, but the logic itself is generally not given a categorical treatment. In this paper, we understand the syntax and proof rules of regular logic in terms of the free regular category $\mathsf{FRg}(\mathrm{T})$ on a set $\mathrm{T}$. From this point of view, regular theories are certain monoidal 2-functors from a suitable 2-category of contexts---the 2-category of relations in $\mathsf{FRg}(\mathrm{T})$---to the 2-category of posets. Such functors assign to each context the set of formulas in that context, ordered by entailment. We refer to such a 2-functor as a regular calculus because it naturally gives rise to a graphical string diagram calculus in the spirit of Joyal and Street. Our key aim to prove that the category of regular categories is essentially reflective in that of regular calculi. Along the way, we demonstrate how to use this graphical calculus.

研究の動機と目的

• 自由正則圏に基づく圏的構造を用いて、正則論理の記法と証明規則を形式化すること。
• 正則計算機を、自由正則圏における関係の2-圏から順序集合へのモノイダル2関手として定義し、含意と論理的構造を捉えること。
• 正則計算機がジョイアルとストリートのストリング図にインspiredされた自然な図式的計算機を提供することを示すこと。
• 正則圏と正則計算機の間の双対性を確立し、正則圏が正則計算機の圏において本質的に反映的であることを示すこと。

提案手法

• 集合Tのsortsに対して自由正則圏FRg(T)を構成し、FRgのコピーのコプロダクトとして定義する。対象は文脈を表し、射はコプロダクト上の同値関係による関係を表す。
• 対象が「シェル」（有限集合にラベルされたポートとサポート対象sを持つもの）である関係の2-圏RelFRg(T)を定義し、射はコアレーショングラフ（wiring diagrams）によって符号化される。
• 文脈における論理式を順序集合の要素として表現し、含意を順序として定義する。正則計算機を、構造を保存するFRg(T) → Posetのモノイダル2関手Pとして定義する。
• 各正則計算機Pに対して、P-図式的項の圏RPを割り当てる関手syn: RgCalc → RgCatを導入し、射は含意によって定義される。
• 各正則圏Rに対して、関連する正則計算機(Ob R, SubR⌜−⌝)を割り当てる関手prd: RgCat → RgCalcを定義し、各文脈における部分対象ラティスを符号化する。
• prdとsynが随伴関手対をなしており、prdが完全に忠実であり、counit syn(prd(R)) → Rが同値であることを証明することで、本質的な反映性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則論理の記法と証明規則は、自由正則圏における圏的構成からどのように体系的に導出可能か？
• RQ2 関手P: FRg(T) → Posetにどのような圏的構造があれば、その論理的内容から正則圏を再構成できるか？
• RQ3 正則圏の構造とその内部論理から、自然に図式的ストリング図計算機を導出できるか？
• RQ4 正則圏の圏と正則計算機の圏の間には双対性があるか？もしあるならば、その性質は何か？
• RQ5 正則圏の内部論理は、その関連する正則計算機から自然な同値を介して完全に回復可能か？

主な発見

• 正則圏の圏は正則計算機の圏において本質的に反映的であり、随伴prd ⊣ synが双対性を確立している。
• 関手syn: RgCalc → RgCatは、任意の正則計算機Pに対して、含意関係を備えたP-図式的項の圏を構成し、正則圏を構成する。
• 関手prd: RgCat → RgCalcは、各正則圏Rに対して正則計算機(Ob R, SubR⌜−⌝)を割り当て、各文脈における部分対象ラティスを符号化する。
• 随伴のcounit ǫ: syn(prd(R)) → Rは同値であるため、任意の正則圏はその論理的内容から回復可能である。
• 関手prdは完全に忠実であるため、正則圏の論理的構造は、同値を除いてその圏的構造を完全に決定する。
• 正則論理の図式的計算機が、関手F♯による含意と等価性の保存によって、健全かつ完全であることが示された。これは、補題8.2で形式化されている。