[論文レビュー] Regular multiplier Hopf algebroids II. Integration on and duality of algebraic quantum groupoids

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、基底上の擬不変量の重みに適合した左および右の積分を用いて、有限性仮定なしの正則乗法的ホップ・アレブロイドに対する双対性理論を確立する。一意でモジュラーな積分の存在を証明し、双対乗法的ホップ・アレブロイドを構成することで、代数的設定において完全な双対性を達成する。

ABSTRACT

A fundamental feature of quantum groups is that many come in pairs of mutually dual objects, like finite-dimensional Hopf algebras and their duals, or quantisations of function algebras and of universal enveloping algebras of Poisson-Lie groups. The same phenomenon was studied for quantum groupoids in various settings. In the purely algebraic setup, the construction of a dual object was given by Schauenburg and by Kadison and Szlachányi, but required the quantum groupoid to be finite with respect to the base. A sophisticated duality for measured quantum groupoids was developed by Enock, Lesieur and Vallin in the setting of von Neumann algebras. We propose a purely algebraic duality theory without any finiteness assumptions, generalising Van Daele's duality theory of multiplier Hopf algebras and borrowing ideas from the theory of measured quantum groupoids. Our approach is based on the multiplier Hopf algebroids recently introduced by Van Daele and the author, and on a new approach to integration on algebraic quantum groupoids. The main concept are left and right integrals on regular multiplier Hopf algebroids that are adapted to quasi-invariant weights on the basis. Given such integrals, we show that they are unique up to rescaling, admit modular automorphisms, and that left and right ones are related by modular elements. Then, we construct, without any finiteness or Frobenius assumption, a dual multiplier Hopf algebroid with integrals and prove biduality.

研究の動機と目的

• 有限性やフロベニウス条件を要しない、完全に代数的な量子群oidsの双対性理論を構築すること。
• 乗法的ホップ代数のヴァン・ダイールの双対性を、正則乗法的ホップ・アレブロイドの設定に一般化すること。
• 基底代数上の擬不変量の重みに適合した乗法的ホップ・アレブロイド上の積分を導入し、それらを研究すること。
• この枠組みにおいて左および右積分の存在、一意性、およびモジュラー性を確立すること。
• 双対乗法的ホップ・アレブロイドを代数的に構成し、双対性を証明することで、二重双対が元の対象を回復することを保証すること。

提案手法

• 基底代数上の擬不変量の重みに適合した、正則乗法的ホップ・アレブロイド上の左および右積分を導入する。
• 畳み込み作用素を用いてモジュラー自己同型を定義し、モジュラー要素を通じて左および右積分を関連付ける。
• 非単位的かつ非有限な設定に一般化されたハール測度の概念を応用する、代数的量子群oidsにおける統合の新しいアプローチを適用する。
• 元の代数の双対関数形を用いて双対乗法的ホップ・アレブロイドを構成し、誘導されたコ乗法と乗法を備える。
• 双対性における整合性を保証するため、KMS関数形と相対的テンソル積を通じた関数形の双圏的視点を用いる。
• 忠実性とモジュラー構造を用いて、二重双対構成が元のアレブロイドを回復することを示すことで、双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底や代数に有限性仮定を課さずに、代数的量子群oidsの双対性理論をどのように定式化できるか？
• RQ2 基底の重みに適合した正則乗法的ホップ・アレブロイド上の積分の存在と一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 この設定において、左および右積分はどのようにモジュラー自己同型とモジュラー要素を通じて関連づけられるか？
• RQ4 射影性や有限性を要件としないで、代数的に双対乗法的ホップ・アレブロイドを構成できるか？
• RQ5 この一般化された設定において、双対性の同型が成り立つのか。すなわち、二重双対から元の対象が自然に回復されるか？

主な発見

• 基底上の擬不変量の重みに適合した正則乗法的ホップ・アレブロイド上の左および右積分は、スケーリングを除いて一意的である。
• 積分はモジュラー自己同型を備え、乗法的ホップ代数のモジュラー理論をアレブロイド設定に一般化する。
• 左および右積分は、左不変性と右不変性の非対称性を符号化するモジュラー要素によって関連づけられる。
• 双対乗法的ホップ・アレブロイドが明示的に構成され、元の対象からの誘導された積分とコ乗法が備わる。
• 双対性が成立する：元のアレブロイドの二重双対は自然に同型であり、完全な双対性が確立される。
• 構成は有限性やフロベニウス仮定を要しないため、無限次元の代数的量子群oidsへの双対性の拡張が可能となる。