[論文レビュー] Separability Idempotents and Multiplier Algebras

Alfons Van Daele|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、非退化な複素代数 $B \bigotimes C$ の乗数代数における分離的冪等元の導入とその研究を行い、有限次元代数における概念を一般化する。反準同型 $S_B$ および $S_C$ を用いて、このような冪等元が存在するための条件を確立し、正則性——つまり、反対代数における分離性として定義される——が、有限次元、可換、または $^*$-代数の場合に、自己随伴な $E$ を持つと自動的に成立することを証明する。これにより、$B$ と $C$ の構造的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Consider two non-degenerate algebras B and C over the complex numbers. We study a certain class of idempotent elements E in the multiplier algebra of the tensor product of B with C, called separability idempotents. The conditions include the existence of non-degenerate anti-homomorphisms from B to M(C) and from C to M(B), the multiplier algebras of C and B respectively. They are called the antipodal maps. There also exist what we call distinguished linear functionals. They are unique and faithful in the regular case. The notion is more restrictive than what is generally considered in the case of (finite-dimensional) algebras with identity. The separability idempotents we consider in this paper are of a Frobenius type. It seems to be quite natural to consider this type of separability idempotents in the case of non-degenerate algebras possibly without an identity. One example is coming from a discrete quantum group A. Here we take B=C=A and E is the image under the coproduct of h, where h is the normalized cointegral. The antipodal maps coincide with the original antipode and the distinguished linear functionals are the integrals. Another example is obtained from a weak multiplier Hopf algebra A. Now B and C are the images of the source and target maps. For E we take the canonical idempotent. Again the antipodal maps come from the antipode of the weak multiplier Hopf algebra. These two examples have motivated the study of separability idempotents as used in this paper. We use the separability idempotent to study modules over the base algebras B and C. In the regular case, we obtain a structure theorem for these algebras.

研究の動機と目的

• 非単位的かつ非有限次元の複素代数に対して、乗数代数を用いて、単位的有限次元代数における分離的冪等元の概念を一般化すること。
• 反準同型 $S_B: B \to M(C)$ および $S_C: C \to M(B)$ を含む、ねじれ共変性条件を満たす $E \in M(B \otimes C)$ としての分離的冪等元を定義し、その分析を行うこと。
• このような冪弱の正則性——$M(B^{\text{op}} \otimes C^{\text{op}})$ においても分離的であること——の概念を調査し、正則性が成立する条件を同定すること。
• 正則性が成立する場合に $B$ と $C$ に対して得られる構造的結果を確立し、弱乗数ホップ代数および離散量子群との関係を探索すること。
• 特に、非正則な分離的冪弱の構成と、非正則な弱乗数ホップ代数からの例の特定という未解決問題を同定すること。

提案手法

• 分離的冪弱 $E \in M(B \otimes C)$ を、すべての $b \in B$, $c \in C$ に対して $E(b \otimes 1) = E(1 \otimes S_B(b))$ および $(1 \otimes c)E = (S_C(c) \otimes 1)E$ を満たす冪等元として定義し、$S_B$, $S_C$ を非退化な反準同型とする。
• $(\varphi_B \otimes \iota)E = 1$ および $(\iota \otimes \varphi_C)E = 1$ を満たす線形汎関数 $\varphi_B$ および $\varphi_C$ を導入し、これは行列代数の場合のトレースを一般化する。
• 正則性を、$E$ が $M(B^{\text{op}} \otimes C^{\text{op}})$ においても分離的であることとして定義し、$E$ が正則であることと、$S_B$ および $S_C$ がそれぞれ $C$ および $B$ に値をとる反同型であることとが同値であることを証明する。
• 正則性条件を用いて構造的結果を導出する：$E$ が正則であるとき、$B$ と $C$ は特定の双対性を持つフロベニウス代数である。
• 2つの重要な例を分析する：弱乗数ホップ代数における標準的冪弱と、正規化された余積分 $h$ を持つ離散量子群における $\Delta(h)$。
• $E^2 = E$ が成り立たない場合（例：$E^2 = 0$）の失敗を検討し、冪等元でない場合への理論の一般化に及ぼす影響を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数 $B$ と $C$ に対して、反準同型 $S_B$ および $S_C$ を含むねじれ共変性関係を満たす $M(B \otimes C)$ 内の分離的冪弱 $E$ が存在するための条件は何か？
• RQ2 分離的冪弱 $E$ が正則であるとは、$M(B^{\text{op}} \otimes C^{\text{op}})$ においても分離的であることと定義されるが、その正則性が成立する条件は何か？ そして、その場合に生じる構造的結果は何か？
• RQ3 有限次元、可換、または $^*$-代数の場合に、自己随伴な $E$ を持つと正則性が自動的に成立するのはなぜか？ これにより、基礎となる代数にどのような意味が生じるか？
• RQ4 非正則な分離的冪弱は、非正則な弱乗数ホップ代数や非全単射な反作用素から構成可能か？
• RQ5 正則でない場合、$E^2 = 0$ が生じる離散量子群における $\Delta(h)$ の性質は、冪等でないにもかかわらず分離的冪弱枠組みとどのように関係しているか？

主な発見

• 分離的冪弱 $E \in M(B \otimes C)$ が存在するための必要十分条件は、ねじれ共変性関係 $E(b \otimes 1) = E(1 \otimes S_B(b))$ および $(1 \otimes c)E = (S_C(c) \otimes 1)E$ を満たす非退化な反準同型 $S_B: B \to M(C)$ および $S_C: C \to M(B)$ が存在することである。
• $(\varphi_B \otimes \iota)E = 1$ および $(\iota \otimes \varphi_C)E = 1$ を満たす線形汎関数 $\varphi_B$ および $\varphi_C$ の存在は、分離的条件を特徴づけ、行列代数の場合のトレースを一般化する。
• 分離的冪弱 $E$ が正則であるための必要十分条件は、$S_B$ および $S_C$ が $S_B(B) \subseteq C$ および $S_C(C) \subseteq B$ を満たす反同型であることである。このとき、$B$ と $C$ はフロベニウス代数である。
• 正則性は、有限次元の場合、可換な場合（$B \cong K(X)$ となる集合 $X$ に対して）、および $E$ が自己随伴である $^*$-代数の場合に自動的に成立する。
• 正則な場合、$S_B$ および $S_C$ を用いて $B$ と $C$ はそれぞれその反対代数と同型であり、$E$ の構造が $B$ と $C$ 間の双対性を定義する。
• 本稿では、非正則な分離的冪弱の構成が困難であることが同定されており、これは非正則な弱乗数ホップ代数や非全単射な反作用素の例がまだ知られていないためであり、理論のギャップを示唆している。