[論文レビュー] Regular Poisson manifolds of compact types (PMCT 2)

Marius Crainic, Rui Loja Fernandes+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 61被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、正則なコンパクト型ポアソン多様体（PMCT）の葉層空間が、豊かな幾何的構造を有する整数アフィン軌道多様体であることを確立している。その構造には、葉に沿ったシンプレクティックコhomology類の線形変化と、ウェイル型の積分公式が含まれる。また、PMCTをシンプレクティック完全完全歪曲線形ファイブレーションの基底として実現するための障害として、シンプレクティックゲルベを導入し、古典的な結果（例えば、デュイステルマット＝ヘッカマンの定理）をPMCTの枠組み内で統一している。

ABSTRACT

This is the second paper of a series dedicated to the study of Poisson structures of compact types (PMCTs). In this paper, we focus on regular PMCTs, exhibiting a rich transverse geometry. We show that their leaf spaces are integral affine orbifolds. We prove that the cohomology class of the leafwise symplectic form varies linearly and that there is a distinguished polynomial function describing the leafwise sympletic volume. The leaf space of a PMCT carries a natural Duistermaat-Heckman measure and a Weyl type integration formula holds. We introduce the notion of a symplectic gerbe, and we show that they obstruct realizing PMCTs as the base of a symplectic complete isotropic fibration (a.k.a. a non-commutative integrable system).

研究の動機と目的

• 正則なコンパクト型ポアソン多様体（PMCT）の横断的幾何構造、特にその葉層空間構造を理解すること。
• 正則なPMCTの葉層空間が、非有効的であっても整数アフィン軌道多様体であることを確立すること。
• 葉に沿ったシンプレクティック形式のコhomology類が、葉層空間全体で線形に変化することを示し、デュイステルマット＝ヘッカマンの定理を一般化すること。
• シンプレクティックゲルベを導入し、PMCTがシンプレクティック完全完全歪曲線形ファイブレーションの基底として実現可能であるための障害として特徴づけること。
• シンプレクティックおよび幾何的表現論における古典的結果（例えば、ウェイルの積分公式やアティヤ＝ギュイリーム＝シュテルンバーグの凸性定理）を、PMCTの枠組み内で統一すること。

提案手法

• 著者たちは、ポアソン多様体のs連結で適切なシンプレクティック統合を用いて、葉層空間およびその幾何的構造を分析している。
• 線形ホロノミー被覆の商として葉層空間を構成し、適切な群ガロア作用によりそれが良い軌道多様体であることを証明している。
• 葉層空間上の整数アフィン構造は、foliationの横断的幾何から生じ、ホロノミーおよび線形化の下で保存される。
• コhomologyにおけるシンプレクティッククラスの線形変化は、線形ホロノミー群ガロア作用およびシンプレクティック統合の構造から導出される。
• ウェイル型の積分公式は、軌道多様体としての葉層空間上のデュイステルマット＝ヘッカマン測度を分析することで確立されている。
• シンプレクティックゲルベは、葉層空間上のシンプレクティックトーラス bundle の中心拡張として導入され、ラグラングジャン・ディクスミエ＝ドゥアシー類によって分類される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則なPMCTの葉層空間が整数アフィン軌道多様体としての構造をどのように持つのか。その良さ（goodness）を保証する条件は何か。
• RQ2 葉に沿ったシンプレクティック形式のコhomology類が、葉層空間全体でどのように変化するのか。これはどのようにデュイステルマット＝ヘッカマンの定理を一般化するのか。
• RQ3 シンプレクティックゲルベが、PMCTがシンプレクティック完全完全歪曲線形ファイブレーションの基底として実現可能であるかどうかを妨げる障害として果たす役割は何か。
• RQ4 ウェイルの積分公式やアティヤ＝ギュイリーム＝シュテルンバーグの凸性定理といった古典的結果が、一般のPMCT構造の特殊ケースとしてどのように現れるのか。
• RQ5 任意の古典的整数アフィン軌道多様体は、横断的整数アフィン構造を持つ、適切なタイプのfoliationの葉層空間として実現可能か。

主な発見

• 正則なPMCTの葉層空間は整数アフィン軌道多様体であり、シンプレクティック葉が1連結である場合には、滑らかな整数アフィン多様体に一致する。
• 葉に沿ったシンプレクティック形式のコhomology類は、葉層空間全体で線形に変化し、古典的デュイステルマット＝ヘッカマンの定理を一般化する。
• 葉層空間上にはウェイル型の積分公式が成り立ち、デュイステルマット＝ヘッカマン測度がその主要因である。
• 葉層空間上のシンプレクティックゲルベはラグラングジャン・ディクスミエ＝ドゥアシー類によって分類され、その消滅は、適切な完全歪曲線形実現の存在と同値である。
• 葉層空間は良い軌道多様体であり、線形ホロノミー被覆の構成により、滑らかな整数アフィン多様体による有限ガロア被覆が存在することが示された。
• すべての古典的整数アフィン軌道多様体は、横断的整数アフィン構造を持つ適切なタイプのfoliationの葉層空間として実現可能であり、その良さが裏付けられた。