[論文レビュー] Regular representations of vertex operator algebras, I

Haisheng Li|ArXiv.org|Aug 19, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、頂点作用素代数 $V$ の $W$ と複素数 $z$ から、canonical な弱 $V \otimes V$-加群 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ を構成し、型 ${W' \choose W_1 W_2}$ の相互作用作用素と $V \otimes V$-準同型 $W_1 \otimes W_2$ から ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ への間の一対一対応を確立する。主な貢献は、$W = V$ のときの正則表現 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ の Peter-Weyl 型分解を提供することであり、VOA における相互作用作用素の構造的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper, given a module $W$ for a vertex operator algebra $V$ and a nonzero complex number $z$ we construct a canonical (weak) $V\otimes V$-module ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ (a subspace of $W^{*}$ depending on $z$). We prove that for $V$-modules $W, W_{1}$ and $W_{2}$, a $P(z)$-intertwining map of type ${W'\choose W_{1}W_{2}}$ ([H3], [HL0-3]) exactly amounts to a $V\otimes V$-homomorphism from $W_{1}\otimes W_{2}$ into ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$. Using Huang and Lepowsky's one-to-one linear correspondence between the space of intertwining operators and the space of $P(z)$-intertwining maps of the same type we obtain a canonical linear isomorphism from the space ${\cal{V}}^{W'}_{W_{1}W_{2}}$ of intertwining operators of the indicated type to $\Hom_{V\otimes V}(W_{1}\otimes W_{2},{\cal{D}}_{P(z)}(W))$. In the case that $W=V$, we obtain a decomposition of Peter-Weyl type for ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$, which are what we call the regular representations of $V$.

研究の動機と目的

• $V$-加群と複素数パラメータ $z$ から $V \otimes V$-加群を体系的に構成すること。
• $V \otimes V$-準同型と相互作用作用素を結びつけるカテゴリカルな枠組みを提供すること。
• $P(z)$-チャネル構成を用いて相互作用作用素の理論を一般化すること。
• $W = V$ のとき、正則表現 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ に対する Peter-Weyl 型分解を導出すること。

提案手法

• $W^*$ の部分空間として、パラメータ $z \in \mathbb{C}^\times$ に依存する加群 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ を定義する。
• Huang と Lepowsky の $P(z)$-相互作用写像と相互作用作用素の線形対応を用い、作用素空間と準同型空間を関連付ける。
• ${\cal{V}}^{W'}_{W_1 W_2}$ の空間から $\Hom_{V \otimes V}(W_1 \otimes W_2, {\cal{D}}_{P(z)}(W))$ への canonical 線形同型を構成する。
• $P(z)$-相互作用写像の型 ${W' \choose W_1 W_2}$ が、${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ への $V \otimes V$-準同型とちょうど一対一に対応することを証明する。
• ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ を $V$ の正則表現として構造的に分析し、Peter-Weyl 理論に類似した分解を得る。
• $W = V$ の場合に理論を適用し、正則表現を既約成分に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $V$-加群と複素数パラメータ $z$ から $V \otimes V$-加群を体系的に構成できるか？
• RQ2 $P(z)$-相互作用写像と $V \otimes V$-準同型の間の明確な関係は何か？
• RQ3 相互作用作用素の空間を $V \otimes V$-加群準同型の空間と自然に同一視できるか？
• RQ4 正則表現 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ にどのような構造的分解が生じるか？
• RQ5 この構成によって、$V$ の正則表現に対する Peter-Weyl 型分解が得られるか？

主な発見

• $V$-加群 $W$ と $z \in \mathbb{C}^\times$ に対して、$W^*$ の部分空間として canonical な弱 $V \otimes V$-加群 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ が構成される。
• 型 ${W' \choose W_1 W_2}$ の相互作用作用素の空間と $W_1 \otimes W_2$ から ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ への $V \otimes V$-加群準同型の空間との間に、canonical 線形同型が存在する。
• この構成により、型 ${W' \choose W_1 W_2}$ の $P(z)$-相互作用写像と ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ への $V \otimes V$-準同型との間の一対一対応が確立される。
• $W = V$ のとき、加群 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ は Peter-Weyl 型の分解を許容し、$V$ の正則表現として特定される。
• この理論により、$V \otimes V$-加群における表現論的準同型を通じて、相互作用作用素の分類を統一的に提供する枠組みが得られる。
• 結果として、モジュール論的構成を用いて、頂点作用素代数における相互作用作用素の構造を一般化・カテゴリ化する。