[論文レビュー] Regularity estimates of solutions to complex Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds

Xi Zhang, XiangWen Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非ゼロの torsion を持つヘルミート多様体上における複素 Monge-Ampère 方程式の解について、初めての内部 $C^{2}$ および局所 Calabi $C^{3}$ 評価を確立した。これは、ベッドフォード＝トーマスの古典的評価とカラビの評価を、ケーラー設定を超えて拡張するものである。スケールおよび平行移動不変性を持つ $Τ^{1,1}$ 正則性評価を、一般のヘリミート計量（非ゼロ torsion を持つ）に対して得るため、部分問題の方法を適応し、重み付き下位解を用いた。

ABSTRACT

In this paper, we obtain the Bedford-Taylor interior $C^{2}$ estimate and local Calabi $C^{3}$ estimate for the solutions to complex Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds.

研究の動機と目的

• 非ケーラー的設定である非閉じたヘリミート多様体（非ゼロ torsion を持つ）において、古典的ベッドフォード＝トーマスの内部 $C^{2}$ 評価を拡張すること。
• カラビの局所 $C^{3}$ 評価をヘリミート多様体に一般化し、非ケーラー幾何的設定における文献の空白を埋めること。
• 曲率仮定に依存しない、一般のヘリミート計量下でのスケールおよび平行移動不変正則性評価を提供すること。
• ヘリミート幾何学における局所ポテンシャルの欠如および自己同型群の推移性の欠如を補うために、重み付き下位解を構成すること。
• 一般のヘリミートデータを有する $Τ^n$ 内の単位球体上におけるディリクレ問題の解について、定量的 $Τ^{1,1}$ 正則性境界を確立すること。

提案手法

• 自己同型群が推移的でないヘリミート設定において、ベッドフォード＝トーマスの部分問題の方法を適応する。
• 第二階微分を制御するため、複素ヘッセ型作用素に対する重み付き下位解 $S = |\nabla^{1,0}h|_{\tilde{g}}^2$ を構成する。
• 曲率項を単純化し、ねじれ寄与を分離するために、$\tilde{g} = h^{-1} \cdot g$ による計量の共形変換を用いる。
• 下位解 $S$ に対して、$\tilde{\triangle} S \geq -C_1 S^{3/2} - C_2$ の形の楕円型不等式を導出する。ここで $C_1, C_2$ は曲率およびねじれのノルムに依存する。
• $\tilde{\nabla}$ および $h^{-1} \cdot \tilde{\nabla}^{1,0}h$ の $O(S^{1/2})$ 行動を活用し、曲率およびねじれ項を $O(S^{1/2})$ および $O(S)$ の展開で評価する。
• 最大原理を下位解 $S$ に適用し、領域の形状に依存しない、コンパクト部分集合上で一様な $Τ^{1,1}$ 界を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非閉じた計量（非ゼロ torsion を持つ）を持つヘリミート多様体上でも、ベッドフォード＝トーマスの内部 $C^{2}$ 評価を拡張することは可能か？
• RQ2 カラビのケーラー系での結果に類似した、ヘリミート多様体上における複素 Monge-Ampère 方程式の局所 $C^{3}$ 評価は可能か？
• RQ3 局所ポテンシャルが存在しないにもかかわらず、ヘリミート設定においてスケールおよび平行移動不変正則性評価を導出可能か？
• RQ4 非ケーラー設定において、ねじれおよび曲率項は第二階微分評価にどのように影響するか？
• RQ5 ヘリミートディリクレ問題において、$Τ^{1,1}$ ノルムの最適な境界データおよび右辺への依存関係は何か？

主な発見

• 著者らは、ヘリミート多様体上における複素 Monge-Ampère 方程式の解について、スケールおよび平行移動不変 $Τ^{1,1}$ 正則性評価を確立した。
• 任意のコンパクト部分集合 $B' \subset\subset \mathbb{B}$ に対して、解 $u$ の $Τ^{1,1}(B')$ ノルムは、$\omega$ および $\text{dist}(B', \partial\mathbb{B})$、さらに $||\phi||_{\mathcal{C}^{1,1}(\partial\mathbb{B})}$ および $||f^{1/n}||_{\mathcal{C}^{1,1}(\mathbb{B})}$ のみに依存する定数によって上界で抑えられる。
• 重み付き下位解 $S$ に対して楕円型不等式 $\tilde{\triangle} S \geq -C_1 S^{3/2} - C_2$ を導出し、局所カラビ $C^{3}$ 評価をヘリミート多様体に一般化した。
• 楕円型不等式における定数 $C_1$ および $C_2$ は、$K$, $|d\omega|_\omega$, $|R|_\omega$, $|\nabla R|_\omega$, $|T|_\omega$, $|\nabla T|_\omega$, および $|\nabla^s f|_\omega$（$s=0,1,2,3$）に明示的に依存する。
• 漸近的展開を用いて、曲率およびねじれ項を制御する共形変換により、非閉じたヘリミート計量に対しても効果的に対処できた。
• 非ケーラー的かつ非コンパクトなヘリミート多様体上における複素 Monge-Ampère 方程式の研究のための基礎的正則性枠組みを提供し、微分幾何学および超弦理論への応用を含む。