[論文レビュー] Regularity for solutions of non local parabolic equations

Héctor A. Chang Lara, Gonzalo Dávila|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平行移動不変カーネルを備えた完全非線形非局所放物型方程式の解について、弱い放物型ABP推定と反復的振動減衰を用いて、最適な Hölder および $C^{1,\beta}$ 正則性推定を確立する。結果は方程式の次数が古典的局所的ケースに近づくとき（$σ \to 2$）にも一様に保たれ、非局所設定における古典的正則性理論を回復・拡張する。

ABSTRACT

We study the regularity of solutions of parabolic fully nonlinear nonlocal equations. We proof Holder regularity in space and time and for translation invariant equations and under different assumptions on the kernels Holder regularity for the spatial derivatives. The proofs rely on a weak parabolic ABP inspired in recent work done by L. Silvestre and the classic ideas of K. Tso and L. Wang. Our results remain uniform as the order of the equation goes to 2 allowing us to understand the non local theory as an extension to the classical one.

研究の動機と目的

• 完全非線形非局所放物型方程式の粘性解について、空間的・時間的 $C^{\alpha}$ 正則性を確立すること。
• 平行移動不変カーネルの仮定の下で、空間的 $C^{1,\alpha}$ 正則性を証明すること。
• 次数 $\sigma \to 2$ のときにも正則性推定が一様に保たれることを保証し、[10]における古典的結果を回復すること。
• 非局所設定において反復的振動減衰を可能にする、弱い放物型ABP推定を開発すること。

提案手法

• 関数 $u$ の接触集合をその凸包 $\Gamma$ で被覆する方法により、弱い放物型アレクサンドロフ＝ビツァデス＝プッチ（ABP）推定を構築する。その際、$u$ が $\Gamma$ から著しく逸脱しない領域を用いる。
• 文献[8]の補題5.1の修正版を反復的に適用し、凸包 $\Gamma$ の上界を制御する。
• 適切なバリア関数を用いて $\Gamma$ の下界を制御し、急激に減少しないように保証する。
• 王の手法[10]にインspiredされた点関数的振動減衰推定を非局所設定に適応して適用する。
• 局所化と反復的 Hölder 範数制御のため、増分商 $w^{h,k}$ とカットオフ関数 $\eta^k$ を用いる。
• 最大・最小作用素 $\mathcal{M}^{\pm}_{\mathcal{L}_1}$ を含む粘性不等式を用いて、$w^{h,k}$ および $w_{1}^{h,k}$ の一様な境界を確立し、$C^{1,\alpha}$ 正則性に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形非局所放物型方程式の粘性解について、空間的・時間的 $C^{\alpha}$ 正則性を確立できるか？
• RQ2 平行移動不変カーネルの仮定の下で、空間的 $C^{1,\alpha}$ 正則性は成立するか？ また、$\sigma \to 2$ のときにも一様に保たれるか？
• RQ3 非局所設定において、反復的振動減衰の議論を可能にする弱い放物型ABP推定を構築できるか？
• RQ4 古典的正則性理論[10]を非局所設定に拡張し、$\sigma \to 2$ のときの一様推定を得るにはどうすればよいか？
• RQ5 最大・最小作用素 $\mathcal{M}^{\pm}_{\mathcal{L}}$ は、増分商の振動を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、弱い放物型ABP推定と振動減衰を用いて、非局所放物型方程式の解について空間的・時間的 $C^{\alpha}$ 正則性を証明する。
• 平行移動不変カーネルの仮定の下で、空間的 $C^{1,\alpha}$ 正則性が確立され、$\sigma \to 2$ のときにも推定が一様に保たれる。
• 弱いABP推定は、$u$ が $\Gamma$ から著しく逸脱しない領域を用いて、$u$ の接触集合を $\Gamma$ で被覆する方法により構築され、$\Gamma$ の上界・下界の反復的制御に依存する。
• 増分商 $w^{h,k}$ は $\mathcal{M}^{\pm}_{\mathcal{L}_1}$ を含む粘性不等式を満たし、$w^{h,k}$ の一様な境界が反復的に伝播することで $C^{1,\alpha}$ 正則性が得られる。
• 本手法により、$\sigma \to 2$ のときの一様正則性推定が得られ、[10]における王の古典的結果の多くが非局所設定において回復される。
• 最終的な結果として、$u_x$ が $B_{1/2} \times [-1/2, 0]$ で有界であることが確認され、リプシッツ商に対するもう一度の反復により、より高い正則性が得られる。