[論文レビュー] Regularity of A Complex Monge-Ampère Equation on Hermitian Manifolds

Xiaolan Nie|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、解の安定性を保証する背景計量に関する条件の下で、コンパクトなヘルミート多様体上での複素マソン＝アーベル方程式の有界な $\tilde{\omega}$-擬・シュバルツ解の滑らかさを確立する。放物型フローの推移的推移と最大原理を用いて、弱解が滑らかであることを証明し、SzékelyhidiとTosattiのケーラー幾何における結果をヘルミート幾何へ一般化する。

ABSTRACT

We obtain higher order estimates for a parabolic flow on a compact Hermitian manifold. As an application, we prove that a bounded $\hatω$-plurisubharmonic solution of an elliptic complex Monge-Ampère equation is smooth under an assumption on the background Hermitian metric $\hatω$. This generalizes a result of Székelyhidi and Tosatti on Kähler manifolds.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体上でのSzékelyhidiとTosattiの正則性結果をコンパクトなヘルミート多様体へ拡張すること。
• ヘルミート多様体上での複素マソン＝アーベル方程式に関連する放物型フローの高階推定を確立すること。
• 解の安定性を保証する計量条件の下で、楕円型複素マソン＝アーベル方程式の有界弱解が滑らかであることを証明すること。
• トーション項を考慮に入れたヘルミート幾何におけるトーション項の影響を反映させながら、放物型フローの滑らか化性質を非ケーラー設定へ一般化すること。
• 複素表面における特異な初期ガウドゥシュォン計量を持つクリーン＝リッチフローの弱解の構成の基盤を提供すること。

提案手法

• コンパクトなヘルミート多様体上での放物型フローのアプローチを、SzékelyhidiとTosattiの手法に適合させ、$\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \log\frac{(\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\omega}^n} + F(\varphi,z)$ の時間発展方程式を分析する。
• 最大原理を適用して、時間依存の $C^0$ 推定と短時間存在性を導出し、$\sup|\varphi_0|$ と $\sup|\dot{\varphi}_0|$ のみに依存する時間の境界を得る。
• Gill、Tosatti-Weinkove、およびPhong-\v{S}i\v{s}em-Sturmの技法を適応し、ヘルミート幾何におけるトーション項を注意深く取り扱うことにより、$C^2$、$C^3$、および $|\operatorname{Ric}|$ 推定を確立する。
• 放物型Schauder推定を用いて、$t \in [\epsilon, T']$ に対して $\dot{\varphi}$ および $\varphi_k, \varphi_{\bar{k}}$ の $C^{2+\alpha,1+\alpha/2}$ 界を導出し、それを繰り返し適用してすべての高階推定を得る。
• Kołodziejの安定性結果を、有界な $\hat{\omega}$-擬・シュバルツ関数 $u$ に対して $\int_M (\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = \int_M \hat{\omega}^n$ を仮定することで、解の一意性と連続性を保証する。
• 弱解 $\phi$ の滑らかな近似列 $\psi_j$ を構成し、それらを放物型フローで進化させ、極限 $\beta(t,z) = \lim \varphi_j$ が $t > 0$ に対して $\dot{\beta}(t) = 0$ を満たすことを示し、$\beta(t) = \beta(0)$ が滑らかであることを示す。これより $\phi = \beta(0)$ は滑らかである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体上での複素マソン＝アーベル方程式の弱解の正則性結果を、コンパクトなヘルミート多様体へ拡張できるか。
• RQ2 ヘルミート計量 $\hat{\omega}$ が、正則性に必要な解の安定性を保証するための条件は何か。
• RQ3 ヘルミート幾何におけるトーション項は、放物型フローの高階推定にどのように影響するか。
• RQ4 ケーラー構造が存在しない状況でも、放物型フローのアプローチを用いて弱解の滑らかさを証明できるか。
• RQ5 特異な初期データを持つ弱解を用いて、クリーン＝リッチフローが特異時刻を越えて拡張可能となる条件は何か。

主な発見

• コンパクトなヘルミート多様体上において、有界な弱解 $\phi$ が複素マソン＝アーベル方程式 $(\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\phi)^n = e^{-F(\phi,z)}\hat{\omega}^n$ を満たすとき、計量 $\hat{\omega}$ がすべての有界な $\hat{\omega}$-擬・シュバルツ関数 $u$ に対して $\int_M (\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = \int_M \hat{\omega}^n$ を満たすならば、$\phi$ は滑らかである。
• 放物型フロー $\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \log\frac{(\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\omega}^n} + F(\varphi,z)$ は、$\sup|\varphi_0|$ と $\sup|\dot{\varphi}_0|$ のみに依存する $T>0$ に対して、$[0,T]$ 上で滑らかな解を持つ。
• 放物型Schauder推定を用いて、高階推定が得られ、$t \to 0^+$ に伴い界が発散するが、任意の $\epsilon > 0$ に対して $[\epsilon,T]$ 上で一様である。
• 弱解 $\phi$ の滑らかな近似 $\psi_j$ から出発する放物型フローの極限は、$t > 0$ に対して $\dot{\beta}(t) = 0$ を満たし、$\beta(t) = \beta(0)$ が滑らかであることを示す。これより $\phi = \beta(0)$ は滑らかである。
• $\int_M (\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = \int_M \hat{\omega}^n$ の仮定は、例えば $\partial\bar{\partial}\hat{\omega}^k = 0$（$k=1,2$）のとき、Guan-Liの条件のもとで成り立つ。
• この結果は、クリーン＝リッチフローが極限的カレントを押し下げることで特異時刻を越えて続く可能性があることを示唆し、TosattiとWeinkoveの非崩壊フローに関する予想を支持する。