[論文レビュー] Regularity on abelian varieties III: further applications

Giuseppe Pareschi, Mihnea Popa|ArXiv.org|Jun 5, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体上のM正則性理論を拡張し、M正則性インデックスを用いてSeshadri定数の新たな上限を確立し、ジャコビアン上のPicardバンドルの消滅定理を証明し、半同一型ベクトルバンドル上の積分写像の全射性および生成性に関する数値的条件を導出する。主な貢献は、Θ正則性とチャーン類の条件を用いた半同一型バンドル上の積分写像の全射性に関する数値的条件の確立である。

ABSTRACT

In the present sequel to our previous two papers on regularity on abelian varieties, we give a number of new applications of the theory of $M$-regularity to the study of Seshadri constants, Picard bundles, pluricanonical maps on irregular varieties, and semihomogeneous vector bundles.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上でのSeshadri定数とM正則性インデックスの間の関係を確立すること。
• ジャコビアン上のtwisted Picardバンドルの高次コホモロジーに対する消滅定理を証明すること。
• 半同一型ベクトルバンドル上の積分写像の全射性および生成性に関する数値的条件を構築すること。
• 最大アーベル多様体次元をもつ不規則多様体に対する高次元のペクトル写像への有効な結果を拡張すること。
• スケュー・ポンツェリーン積とΘ正則性を用いた、積分写像の全射性のコホモロジー的基準を提供すること。

提案手法

• アーベル多様体上の層のコホモロジー的性質を解析するために、フーリエ＝ムカイ変換および導来圏の技法を用いる。
• PP1のM正則性基準およびPP2の§3の技法を適用し、M正則性インデックスを用いてSeshadri定数を上限づける。
• 行列式的多様体のイーガン＝ノースコット分解を用い、Picardバンドルの強いΘ正則性を計算する。
• 層のスケュー・ポンツェリーン積を用いて、積分写像の全射性をコホモロジー的消滅条件に還元する。
• 指数定理および同一型写像の技法を用い、半同一型バンドルのテンソル積の高次コホモロジー消滅を分析する。
• アーベル多様体のカステルヌオヴォ＝マウムフォード補題およびPP1の一般化された定理2.3を用い、全空間写像の全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の正則線束のSeshadri定数は、M正則性インデックスを用いてどのように上限づけられるか？
• RQ2 theta除数またはその平行移動でtwistされたPicardバンドルのコホモロジー的性質は、どのように支配されるか？
• RQ3 半同一型ベクトルバンドルの全空間写像上の積分写像の全射性を保証する数値的条件は何か？
• RQ4 M正則性を用いて、最大アーベル多様体次元をもつ不規則多様体に対する高次元のペクトル写像に有効な上限を得ることは可能か？
• RQ5 Θ正則性は、アーベル多様体上のベクトルバンドルの生成性および正規生成性を特徴づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• アーベル多様体上の極小線束LのSeshadri定数は、LのM正則性インデックスによって下から有界づけられ、局所的正則性とコホモロジー的正則性の直接的な関係を確立する。
• Picardバンドルをtheta除数またはその平行移動でtwistすると、すべての高次コホモロジーが消える。これは、これらのバンドルに対する強い消滅定理を証明する。
• （X, Θ）上の半同一型バンドルEとFがインデックス0でI.T.を満たすとき、H⁰(E) ⊗ H⁰(tₓ*F) → H⁰(E ⊗ tₓ*F) の積分写像は、(1/r_F)·c₁(F(−Θ)) + (1/r′_E)·φ*Θc₁(Ẽ(−Θ)) > 0 ならば全射である。
• （−1）−Θ正則ベクトルバンドル上の積分写像の全射性は、カステルヌオヴォ＝マウムフォード補題とコホモロジー的消滅を含む一般基準によって保証される。
• すべての（−1）−Θ正則ベクトルバンドルは、正規生成である。これは、正則線束およびVerlindeバンドルの射影正規性に関する結果を拡張する。
• 積分写像の全射性の証明は、同一型写像による引き戻しのテンソル積のコホモロジーの消滅に帰着され、チャーン類の数値的正則性が用いられる。