[論文レビュー] Relation between two-phase quantum walks and the topological invariant

Takako Endo, Norio Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 40被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、1次元における完全な2段階量子ウォーク（QW）とトポロジカル不変量の間の厳密な関係を確立し、QWの局在化およびボールスティック拡散行動がチラル対称性から導かれるトポロジカル不変量によって支配されることを示している。著者らは、正確な定常および時間平均極限測度を導出し、弱収束定理を証明し、単一欠陥を有するQWにおける局在化が、完全な2段階QWの対称性を保つ摂動として生じることを示し、トポロジカル保護と局在化ダイナミクスを統合した。

ABSTRACT

We study a position-dependent discrete-time quantum walk (QW) in one dimension, whose time-evolution operator is built up from two coin operators which are distinguished by phase factors from $x\geq0$ and $x\leq-1$. We call the QW the {\it complete two-phase QW} to discern from the two-phase QW with one defect\cite{endosan,maman}. Because of its localization properties, the two-phase QWs can be considered as an ideal mathematical model of topological insulators which are novel quantum states of matter characterized by topological invariants. Employing the complete two-phase QW, we present the stationary measure, and two kinds of limit theorems concerning {\it localization} and the {\it ballistic spreading}, which are the characteristic behaviors in the long-time limit of discrete-time QWs in one dimension. As a consequence, we obtain the mathematical expression of the whole picture of the asymptotic behavior of the walker, including dependences on initial states, in the long-time limit. We also clarify relevant symmetries, which are essential for topological insulators, of the complete two-phase QW, and then derive the topological invariant. Having established both mathematical rigorous results and the topological invariant of the complete two-phase QW, we provide solid arguments to understand localization of QWs in term of topological invariant. Furthermore, by applying a concept of {\it topological protections}, we clarify that localization of the two-phase QW with one defect, studied in the previous work\cite{endosan}, can be related to localization of the complete two-phase QW under symmetry preserving perturbations.

研究の動機と目的

• 1次元系における2段階量子ウォークとトポロジカル不変量を結びつける数学的枠組みを確立すること。
• 完全な2段階QWの正確な定常および時間平均極限測度を導出し、初期状態に依存することを明示すること。
• 単一欠陥を有するQWにおける局在化の起源を、対称性を保つ摂動のもとでの完全な2段階QWに結びつけること。
• トポロジカル不変量の計算と漸近的挙動の比較により、QWモデルにおけるバルク-エッジ対応を検証すること。
• 物理的直感と数学的厳密性を統合し、量子ウォークにおけるトポロジカル保護による局在化の理解を深めること。

提案手法

• 位置に依存するコイン演算子を有する離散時間量子ウォークを構築：$x \geq 0$ では1つのコイン、$x \leq -1$ では別のコインを用い、位相因子 $\sigma_+$ と $\sigma_-$ で区別する。
• 母関数法および経路数え上げ法を用いて、時間平均極限測度および定常測度を導出し、初期コイン状態に明示的に依存する形で表現する。
• CGMV法およびスペクトル解析を用いて時間発展演算子の固有値問題を解き、局在化固有状態を同定する。
• \sigma_+ - \sigma_- = n\pi のとき、時間発展演算子にチラル対称性が存在し、CartanクラスAIIIに属することを特定し、トポロジカル不変量の計算を可能にする。
• \lambda = \pm i における固有値の流れの巻き数としてトポロジカル不変量を計算し、バルク-エッジ対応と整合することを確認する。
• 単一欠陥QWを完全な2段階QWの対称性を保つ摂動として取り扱い、その局在化状態が完全系の保護されたエッジモードから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な2段階量子ウォークのトポロジカル不変量は、その局在化およびボールスティック拡散特性とどのように関係するか？
• RQ2 完全な2段階QWにおける定常および時間平均極限測度の正確な形は何か？また、初期コイン状態にどのように依存するか？
• RQ3 単一欠陥を有する2段階QWで観測される局在化は、トポロジカル的対称性を保つ摂動のもとでの完全な2段階QWの摂動として理解できるか？
• RQ4 この量子ウォークモデルにおけるバルク-エッジ対応はどの程度成立するか？また、トポロジカル不変量の正確な計算によってどのように検証されるか？
• RQ5 チラル対称性などの対称性は、不均一な量子ウォークにおける局在化エッジ状態の出現にどのように影響するか？

主な発見

• 完全な2段階QWは、初期コイン状態に明示的に依存する正確な定常および時間平均極限測度を示し、局在化を精密に制御可能である。
• 初期コイン状態を、時間平均測度が $x=0$ で消えるように選ぶと、2領域のトポロジカル不変量が異なっていても、原点における局在化が抑制される。
• トポロジカル不変量は、\lambda = \pm i における固有値の流れの巻き数として計算され、\sigma_+ - \sigma_- = n\pi のとき非ゼロとなり、系がAIIIクラスに属することを確認する。
• 弱収束定理により、再スケーリングされた位置空間におけるボールスティック拡散が確認され、極限測度はディラックデルタ成分（局在化）と絶対連続成分（ボールスティック運動）から成る。
• 1欠陥を有する2段階QWの局在化状態は、原点における対称性を保つ摂動として完全な2段階QWから生じており、欠陥コイン演算子が \theta_x = 0 における摂動コイン $U_p$ と一致することが示された。
• \sigma = \pm \pi/2 のとき、完全な2段階QWの定常測度の減衰率は、単一欠陥QWと一致し、両モデルにおける局在化のトポロジカル起源を確認する。