[論文レビュー] Relative continuous K-theory and cyclic homology

Alexander Beilinson|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ p $-進環 $ A $ と適切なイデアル $ I $ に対して、有理化された相対連続 $ K $-理論のプロスペクトル $ K(A,I)_{\mathbb{Q}}^\wedge $ と、シフトされた有理化された巡回ホモロジーのプロコンプレックス $ CC(A)_{\mathbb{Q}}^\wedge[1] $ の間で、準同型的同相（ quasi-isogeny まで）の自然なホモトピー同値を確立する。この構成は、Lazard型理論を用いてグッドウィルの定理を $ p $-進設定に適応し、古典的な $ K \simeq CC[1] $ 同型の連続版を提供する。

ABSTRACT

We show that for an associative algebra A and its ideal I such that the I-adic topology on A coincides with the p-adic topology, the relative continuous K-theory pro-spectrum "lim"K(A_i, IA_i), where A_i :=A/p^i A, is naturally isogenous to the cyclic chain pro-complex "lim"CC(A_i) (subject to minor conditions on A). This identification is a continuous version of the classical Goodwillie isomorphism. The work comes from an attempt to understand the article of Bloch, Esnault, and Kerz "p-adic deformations of algebraic cycle classes".

研究の動機と目的

• 相対 $ K $-理論と巡回ホモロジーにおけるグッドウィルの同型 $ K(R,J) \simeq CC(R,J)[1] $ を $ p $-進設定に拡張すること。
• $ p $-進環と $ p $-進位相の条件を満たすイデアルを持つ場合に、プロスペクトル設定における $ K \simeq CC[1] $ 同型の連続版を構成すること。
• 連続 $ K $-理論と巡回ホモロジーを用いて、算術幾何におけるブロッハ＝エスナール＝ケルツ型の同一視を再証明すること。
• 幾何的仮定の下で、$ \mathbb{Q} \otimes \varprojlim K_n^B(X_i, Y) $ と de Rham コホモロジーおよびホッジフィルトレーションとの比較を確立すること。

提案手法

• $ A_i = A/p^i $ および $ I_i = IA_i $ とおくとき、相対連続 $ K $-理論のプロスペクトル $ K(A,I)^\wedge $ を $ K(A_i, I_i) $ の極限として定義する。
• プロスペクトル枠組みを用いて、$ CC(A)^\wedge $ を $ CC(A_i) $ の極限として定義する。
• $ p $-進設定においてマルツェフ理論の代わりにラザール理論を用い、$ CC(A)^\wedge $ と $ CC(A,I)^\wedge $ 間の比較を単純化する。
• 対称代数 $ \mathrm{Sym}(CC(A)^\wedge[1]) $、リー代数複体 $ C(\mathfrak{gl}(A)^\wedge) $、$ K $-理論プロスペクトル $ \Omega^\infty K(A,I)^\wedge $ の間の準同型的同型の鎖を構成する。
• これらの写像の合成が、$ CC(A)^\wedge[1]_{\mathbb{Q}} $ と $ K(A,I)^\wedge_{\mathbb{Q}} $ の間で準同型的同型を誘導することを確立し、主要結果を証明する。
• 結果を幾何的設定に適用する： $ O_E $-スキーム $ X $ が固有で一般点に滑らかであるとき、$ \mathbb{Q} \otimes \varprojlim K_n^B(X_i, Y) $ を $ \oplus_a H^{2a-n}_{\text{dR}}(X_E)/F^a $ に同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グッドウィルの同型 $ K(R,J) \simeq CC(R,J)[1] $ は、連続 $ K $-理論と巡回ホモロジーを用いて $ p $-進設定に拡張可能か？
• RQ2 $ I $ が $ p $-進位相の条件を満たすとき、プロ設定において $ CC(A)^\wedge $ と $ CC(A,I)^\wedge $ の差が有理化の意味で消えるか？
• RQ3 ブロッハ＝エスナール＝ケルツによる $ K $-理論と de Rham コホモロジーの同一視は、連続 $ K $-理論と巡回ホモロジーを用いて再導出可能か？
• RQ4 $ p $-進環と適切なイデアルを持つ場合に、$ K(A,I)^\wedge_{\mathbb{Q}} $ と $ CC(A)^\wedge[1]_{\mathbb{Q}} $ の間に自然な準同型的同型が存在するか？
• RQ5 $ K $-理論における境界写像と $ p $-進設定における結晶的特徴類写像との正確な関係は何か？

主な発見

• $ I $-adic 位相と $ p $-adic 位相が一致する $ p $-進環 $ A $ とイデアル $ I $ に対して、$ K(A,I)^\wedge_{\mathbb{Q}} $ と $ CC(A)^\wedge[1]_{\mathbb{Q}} $ の間で、準同型的同型までを含む自然なホモトピー同値が構成される。
• この構成は、$ CC(A)^\wedge $ と $ CC(A,I)^\wedge $ 間のねじれの差が有理化の意味で消えるという主要な単純化を伴い、グッドウィルの定理を連続 $ p $-進設定に一般化する。
• 幾何的設定において、主結果により、$ \mathbb{Q}_p $-ベクトル空間としての自然な同型 $ \mathbb{Q} \otimes \varprojlim K_n^B(X_i, Y) \simeq \oplus_a H^{2a-n}_{\text{dR}}(X_E)/F^a $ が得られる。ここで $ X $ は一般点に滑らかな固有 $ O_E $-スキームである。
• 証明は、対称代数、リー代数複体、$ GL $-群複体を含む準同型的同型の鎖に依拠しており、最終的にホモロジーの原始的部品が保存されることを示す。
• この結果は、$ A_1 $ の安定ランクが有限であるという仮定の下で成り立ち、ホモロジーにおける必要な同型的同型性質を保証する。
• 構成は $ a \geq 0 $、$ m \geq 1 $ の選択に依存せず、最終的な準同型的同型は自然かつ有理的である。