[論文レビュー] Relative (non-)formality of the little cubes operads and the algebraic Cerf Lemma

Victor Tourtchine, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$ℝ$ 上の小さな立方体のオペラッド $E_n \to E_{n+k}$ の相対的形式性を確立し、$k \geq 2$ のとき形式的であることを証明するとともに、$k = 1$ のときは非形式的であることを示している。さらに、$E_n \to E_{n+1}$ の変形複体のホモロジーを計算し、代数的 Cerf の補題を証明することで、変形理論が $E_{n+1}$ のホモトピー導分のカップ積によって完全に支配されることを示している。

ABSTRACT

It is shown that the operad maps $E_n o E_{n+k}$ are formal over the reals for $k\geq 2$ and non-formal for $k=1$. Furthermore we compute the cohomology of the deformation complex of the operad maps $E_{n} o E_{n+1}$, proving an algebraic version of the Cerf Lemma.

研究の動機と目的

• オペラッド写像 $E_n \to E_{n+k}$ の相対的形式性問題を $ℝ$ 上で解き、特に $k \geq 2$ と $k = 1$ の区別を明確にすること。
• オペラッド写像 $E_n \to E_{n+1}$ の変形複体のホモロジーを計算し、位相的 Cerf の補題の代数的類似を確立すること。
• 変形理論を通じて、$n$-多様体から $n+1$-多様体への埋め込みの剛性を理解すること。
• $E_n \to E_{n+1}$ の代数的変形理論を、埋め込み空間の位相および微分同相群の位相と結びつけること。
• 一般に係数をとる状況において、導来双モジュールと導分の間の双対性の一般化を予想すること。

提案手法

• Kontsevich-Lambrecht-Voliç の構成を、Fulton-MacPherson オペラッド $\mathsf{FM}_n$ 上の半代数的微分形式を用いて適応する。
• 次数の数え上げによる議論により、$k \geq 2$ のとき、$\mathsf{FM}_{n+k}$ から $\mathsf{FM}_n$ への特定の形式の制限が消えることを示し、これにより形式性が従う。
• $\mathsf{FM}_{n+1}$ 上で非ゼロである特定のグラフに関連する形式を同定し、それらが $\mathsf{FM}_n$ に制限してもゼロでないことを示し、$k=1$ の非形式性を証明する。
• オペラッド写像の変形理論を適用し、変形複体上のカップ積構造を用いてそのホモロジーと $E_{n+1}$ のホモトピー導分との関係を結ぶ。
• 非有界なチェーン複体および導来オペラッド写像の理論を用いて、変形複体のホモロジーとシフトされた導分との関係を結ぶ。
• Goodwillie-Weiss 計算およびスペクトル系列の収束結果を活用し、代数的形式性と位相的埋め込み空間との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $k \geq 1$ に対して、オペラッド写像 $E_n \to E_{n+k}$ は $ℝ$ 上で形式的か？
• RQ2 オペラッド写像 $E_n \to E_{n+1}$ の変形複体のホモロジーは何か？ そして $E_{n+1}$ の導分とどのように関係するか？
• RQ3 変形理論 $E_n \to E_{n+1}$ は、ホモトピー導分のカップ積によって完全に記述可能か？
• RQ4 $E_n \to E_{n+k}$ の相対的形式性は、埋め込み空間の Goodwillie-Weiss ツリーのスペクトル系列にどのように影響するか？
• RQ5 代数的変形複体は、空間 $\mathit{Diff}_\partial(D^{n+1})$ の特異的チェーン複体をどの程度正確にモデル化するか？

主な発見

• オペラッド写像 $E_n \to E_{n+k}$ は、$ℝ$ 上で形式的であるための必要十分条件は $k \geq 2$ であり、$k = 1$ のときは非形式的であることが示された。
• 変形複体 $E_n \to E_{n+1}$ のホモロジーは、$E_{n+1}$ のホモトピー導分の像のカップ積によって生成され、代数的 Cerf の補題が証明された。
• $n \geq 2m + 2$ のとき、$H_*(Emb(M^m, \mathbb{R}^n))$ を計算するスペクトル系列は有理数係数で第2項で収束し、以前の境界を改善した。
• $k=1$ のとき、$\mathsf{FM}_{n+1}$ 上で非ゼロである特定の半代数的形式が $\mathsf{FM}_n$ に制限されないことは、形式性を妨げるコhomological障害を提供する。
• 変形複体 $E_n \to E_{n+1}$ は、$E_{n+1}$ のホモトピー導分のシフトされた複体に quasi-isomorphic であり、埋め込みの剛性が確立された。
• 研究された場合、$\operatorname{hIBim}_{E_m^\mathbb{1}}(E_m^\mathbb{1}, \mathcal{O}) \simeq \mathrm{hDer}_*(E_m \to \mathcal{O})[m+1]$ の予想は $ℝ$ 上で成立し、形式性および双対性の証拠がある。