[論文レビュー] Relative non-pluripolar products of currents

Duc‐Viet Vu|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンpact Kähler多様体上の閉じた正の(currents)に対して、基準となる電流 $T$ を用いて一般化された相対的非多様体的積を導入する。主な貢献として、相対的積における単調性、フルマス交差のためのLelong数による必要条件、および相対的フルマス交差を有する重み付き電流の族の凸性—これらは、$T$ が多様体 $X$ 沿いの積分電流である古典的状況ですでに成立する結果を拡張・強化するものである。この枠組みは、有界psh関数の強い準連続性および混合Monge-Ampère作用素の収束性に依拠している。

ABSTRACT

Given a closed positive current T on a compact Kahler manifold X, we introduce the notion of non-pluripolar product relative to T of closed positive (1,1)-currents. We recover the well-known non-pluripolar product when T is the current of integration along X. Our main results are a monotonicity property of relative non-pluripolar products, a necessary condition for currents to be of relative full mass intersection in terms of Lelong numbers, and the convexity of weighted classes of currents of relative full mass intersection. The former two results are new even when T is the current of integration along X.

研究の動機と目的

• 基準電流 $T$ に関する相対的バージョンとして、電流の非多様体的積を一般化すること。
• コhomology的優位性の下で、相対的非多様体的積に単調性が成り立つことを確立すること。
• 電流が相対的フルマス交差を達成する条件をLelong数の観点から特徴づけること。
• 相対的フルマス交差を有する重み付き電流の族の凸性を証明すること。
• 相対的設定における混合Monge-Ampère作用素の収束性および連続性の結果を拡張すること。

提案手法

• 電流 $T$ に付随する容量に関する有界psh関数の準連続性を用いて、相対的非多様体的積 $\langle T_1 \wedge \cdots \wedge T_m \dot{\wedge} T \rangle$ を定義する。
• 有界psh関数の相対的強力準連続性（定理 2.4）を証明し、標準的な準連続性よりも強い性質を示す。
• 混合Monge-Ampère作用素の収束結果（定理 2.6）を主要な技術的道具として用いる。
• 同じコhomology類内での電流の比較により、相対的積の単調性を確立する（定理 4.4）。
• Lelong数を用いた相対的フルマス交差の特徴づけ（定理 4.12）を行い、正の一般Lelong数が解析的集合 $V$ 沿いに存在するならば $\dim V < n - p - m$ が成り立つことを示す。
• 電流の減少／増加列に対する重み付きクラスの連続性を証明する（定理 4.9 および命題 5.10）。[4] の結果を相対的設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電流の非多様体的積を、基準電流 $T$ に関する相対的設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 電流が同じコhomology類内にあり、特異性が低い電流に置き換えられる場合、相対的非多様体的積にどのような単調性が成り立つか？
• RQ3 Lelong数は、電流の相対的フルマス交差を妨げる役割を果たすか？
• RQ4 相対的フルマス交差と与えられた重み $\chi$ を持つ電流の族は凸か？
• RQ5 電流の減少または増加列に対して、重み付き相対的積の収束性および連続性はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の bi-degree $(1,1)$ の閉じた正の電流 $T_1,\ldots,T_m$ および任意の閉じた正の電流 $T$ に対して、コンpact Kähler多様体上では、相対的非多様体的積 $\langle T_1 \wedge \cdots \wedge T_m \dot{\wedge} T \rangle$ は適切に定義され、閉じた正の電流である。
• 単調性が成り立つ：もし $T_j'$ が同じコhomology類内で $T_j$ より特異性が低いならば、$\{\langle T_1 \wedge \cdots \wedge T_m \dot{\wedge} T \rangle\} \leq \{\langle T_1' \wedge \cdots \wedge T_m' \dot{\wedge} T \rangle\}$ が成り立つ。これは $T$ が $X$ 沿いの積分電流である場合でも、新しい結果である。
• もし $T_1,\ldots,T_m$ が相対的フルマス交差を有し、ある既約な解析的集合 $V$ 沿いに正の一般Lelong数を持つならば、$\dim V < n - p - m$ が成り立つ。ここで $p = \dim V_T$ であり、$m$ は電流の数である。
• 相対的フルマス交差を有する重み付き電流の族は凸であり、重み付き積は電流の減少または増加列に関して連続である（命題 5.10）。
• もし $T_1,\ldots,T_m$ のコhomology類がKählerであれば、相対的フルマス交差は、$T_j$ の滑らかな代表 $\theta_j$ に対して $\{\langle \wedge T_j \dot{\wedge} T \rangle\} = \{\wedge \theta_j \wedge T\}$ というコhomological等式と同値である。
• この枠組みは、既存の結果を統合・強化する：$T$ が $X$ 沿いの積分電流であるとき、相対的積は標準的な非多様体的積に回帰する。また、主な技術的道具（例えば、強力準連続性や収束定理）は、既存の文献の結果を一般化する。