[論文レビュー] Relative orbifold Gromov-Witten theory and degeneration formula

Bohui Chen, An-Min Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 19

ひとこと要約

本稿は相対的オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン理論を確立し、相対的マークド点における分数的接触次数を有する安定写像へ相対的およびオルビフォールド構造を拡張することで、オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の分解公式を証明する。主な貢献は、クルンシ構造を用いた仮想基本サイクルの構成と、シンプレクティック・オルビフォールドが共通の除数に沿って分解する場合の不変量の分解を可能にするグリッティング定理であり、リ・ルアンの公式をオルビフォールド設定に一般化する。

ABSTRACT

Relative orbifold Gromov-Witten theory is set-up and the degeneration formula is given.

研究の動機と目的

• ターゲット空間が除法的分解をもつシンプレクティック・オルビフォールドである場合に、グロモフ＝ウィッテン不変量の分解公式をオルビフォールド設定に拡張すること。
• 相対的マークド点における分数的接触次数を有する相対的オルビフォールド安定写像を定義し、滑らかさのケースにおける接触次数の概念を一般化すること。
• Kuranishi構造を用いて相対的オルビフォールド安定写像のモジュライ空間の仮想基本サイクルを構成し、その分解と整合性を示すこと。
• 分解されたオルビフォールドのオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量を、成分の相対不変量の積の和として表す分解公式を証明すること。
• 複素次元3におけるオルビフォールド・フロップにおけるオルビフォールド量子コホモロジーの不変性を示す応用の基盤を構築すること。

提案手法

• シンプレクティック除法的をもつオルビフォールド $\mathsf{G}$ におけるオルビフォールド相対対 $(\mathsf{G}, \mathsf{Z})$ を導入し、マークド点におけるモノドロミー情報を有する安定相対オルビフォールド写像を定義する。
• 局所モデル $\mathbb{D}/\mathbb{Z}_m \to (V \times \mathbb{C})/G_z$ におけるオルビフォールド写像の被覆のテイラー展開の最低次の項を用いて、相対的マークド点における分数的接触次数 $\ell = k/|h|$ を定義する。ここで $h$ はモノドロミーを生成する。
• 相対的オルビフォールド安定写像のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathbf{g},A}(\mathsf{G}, \mathsf{Z})$ を構成し、根元写像の収束およびノードと穴あき点におけるオルビフォールド構造の埋め込みを用いてコンパクト性を証明する。
• 重み付きSobolev空間とノードにおけるグリッティングデータを用いた局所モデルからなるKuranishi構造を構築し、仮想基本サイクルの存在を証明する。
• 近似ペアの座標チャートを用いたグリッティング写像の局所ホメオモルフィズムの構成と、$\|\bar{\partial}\mathsf{v}\| \leq C r^{1-\alpha}$ における $\bar{\partial}$-作用素のノルムの推移的制御により、相対的オルビフォールド写像のグリッティング定理を証明する。
• 仮想サイクルを分解の分岐領域に沿って貼り合わせることで分解公式を確立し、分解されたオルビフォールドの全不変量が、2つの成分からの相対不変量の積の和に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロモフ＝ウィッテン不変量の分解公式を、ターゲット空間が除法的分解をもつシンプレクティック・オルビフォールドである場合に、どのようにオルビフォールド設定に一般化できるか。
• RQ2 相対的オルビフォールド安定写像における接触次数の正しい概念は何か。モノドロミーと局所オルビフォールド被覆を用いて、滑らかさのケースにどのように一般化されるか。
• RQ3 Kuranishi構造を用いて、相対的オルビフォールド安定写像のモジュライ空間の仮想基本サイクルを構成できるか。また、その構成は分解と整合性を持つか。
• RQ4 ノードにおける相対的オルビフォールド写像のグリッティングはどのように振る舞い、$\bar{\partial}$-作用素のノルムと右逆作用素のノルムの推移的制御を用いて、グリッティング写像の局所ホメオモルフィズムを確立できるか。
• RQ5 オルビフォールド設定における分解公式の正確な形は何か。また、これはオルビフォールド・フロップにおけるオルビフォールド量子コホモロジーの不変性とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿では、重み付きSoboleブレヒューレス写像とオルビフォールド・グリッティングデータを用いた局所モデルからなるKuranishi構造を用いて、相対的オルビフォールド安定写像のモジュライ空間の仮想基本サイクルを構成する。
• 仮想サイクルの存在を証明するため、$\bar{\partial}$-作用素とその微分のノルムの推移的制御 $\|\bar{\partial}\mathsf{v}\| \leq C r^{1-\alpha}$ を用いて、グリッティング写像が局所ホメオモルフィズムであることを示すグリッティング定理を確立する。
• 分解公式が証明された：分解されたオルビフォールド $X^+ \wedge_Z X^-$ のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量は、$(X^+, Z)$ と $(X^-, Z)$ の相対不変量の積の和として表され、滑らかさのケースを一般化する。
• 分数的接触次数 $\ell = k/|h|$ は、オルビフォールド写像の被覆のテイラー展開の最低次の項を用いて定義され、接触次数をオルビフォールド設定に一貫的に一般化する。
• この構成はチェン＝ルアンコホモロジーと整合性を持ち、仮想サイクルへの積分を用いてオルビフォールド相対グロモフ＝ウィッテン不変量を定義可能である。
• 本フレームワークは、将来の応用を可能にし、複素次元3におけるオルビフォールド・フロップにおけるオルビフォールド量子コホモロジーの不変性の証明（[CLZ]の続編で概説）が可能となる。