[論文レビュー] Relative vanishing theorems for $\mathbf{Q}$-schemes

Takumi Murayama|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 67被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Zariski–Riemann空間とGrothendieck極限定理を用いて、等特異性零の$$\mathbf{Q}$$-スキームおよび関連する解析的空間に対して相対的消失定理と単射定理を確立する。BoutotとKawakitaの長年の予想を解決し、双対複体を備えた優れたスキーム上の固有な準同型に関して、Kawamata–Viehwegの消失定理とKollárの単射定理を証明する。

ABSTRACT

We prove the relative Grauert-Riemenschneider vanishing, Kawamata-Viehweg vanishing, and Kollár injectivity theorems for proper morphisms of schemes of equal characteristic zero, solving conjectures of Boutot and Kawakita. Our proof uses the Grothendieck limit theorem for sheaf cohomology and Zariski-Riemann spaces. We also show these vanishing and injectivity theorems hold for locally Moishezon (resp. projective) morphisms of quasi-excellent algebraic spaces admitting dualizing complexes and semianalytic germs of complex analytic spaces (resp. quasi-excellent formal schemes admitting dualizing complexes, rigid analytic spaces, Berkovich spaces, and adic spaces locally of weakly finite type over a field), all in equal characteristic zero. We give many applications of our vanishing results. For example, we extend Boutot's theorem to all Noetherian $\mathbf{Q}$-algebras by showing that if $R o R'$ is a cyclically pure map of $\mathbf{Q}$-algebras and $R'$ is pseudo-rational, then $R$ is pseudo-rational. This solves a conjecture of Boutot and affirmatively answers a question of Schoutens. The proof of this Boutot-type result uses a new characterization of pseudo-rationality and rational singularities using Zariski-Riemann spaces. This characterization is also used in the proofs of our vanishing and injectivity theorems and is of independent interest.

研究の動機と目的

• ノエター的$$\mathbf{Q}$$-スキームおよびより広範な解析的カテゴリーにおける固有な準同型への古典的消失定理（例：Kawamata–ViehwegおよびKollárの単射定理）の拡張を図ること。
• 滑らかまたは射影的多様体を超える等特異性零における相対的消失定理の妥当性に関して、BoutotとKawakitaの予想を解決すること。
• 特異点の解消に依存しないZariski–Riemann空間による有理的特異点および擬有理的性の新しい特徴付けを確立すること。
• これらの結果を局所的にMoishezonな代数的空間、形式的スキーム、剛体空間およびBerkovich空間、および複素解析的局所環へと拡張すること。これらはすべて等特異性零において成り立つ。
• 消失定理を応用し、有理的特異点、完全局所UFDのGorenstein性、および循環的純写像下での擬有理的性に関する新しい結果を証明すること。

提案手法

• 層コホモロジーのGrothendieck極限定理を用いて、スキームの逆系に沿ったコホモロジー群の極限を分析する。
• 有理的特異点および擬有理的性の特徴付けにZariski–Riemann空間を道具として用いる。
• 優れたスキーム上の双対複体の理論を用いて、相対的状況における正規化層および接続を定義する。
• Chowの補題およびさまざまな幾何的カテゴリー（代数的空間、解析的局所環、剛体空間、Berkovich空間、アディック空間）における対数解消を用いて、一般の場合を射影の場合に還元する。
• $$\tilde{X}\to X$$をklt対の相対的対数解消とし、射影公式を用いて消失性を$$\tilde{X}$$から$$X$$へと移す。
• Lerayのスペクトル系列を用いて、$$f_*$$のコホモロジーと$$f\circ\pi\circ\mu_*$$のコホモロジーを関連づけ、解消における消失性を用いて元のスキームにおける消失性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対複体を備えたノエター的$$\mathbf{Q}$$-スキーム上の固有な準同型に対して、Kawamata–Viehwegの消失定理は成り立つか？
• RQ2 klt対に対して、Kollárの単射定理は、等特異性零における一般の優れたスキーム上に拡張可能か？
• RQ3 特異点の解消に依存せず、Zariski–Riemann空間を用いた有理的特異点および擬有理的性の特徴付けは存在するか？
• RQ4 相対的消失定理は、非アーキメデス的および複素解析的設定（例：剛体空間、Berkovich空間、形式的スキーム）へと拡張可能か？
• RQ5 BoutotとSchoutensが予想したように、$$\mathbf{Q}$$-代数の循環的純写像は擬有理的性を保ち得るか？

主な発見

• 双対複体を備えたノエター的$$\mathbf{Q}$$-スキーム上の固有で最大支配的な準同型に対して、相対的Kawamata–Viehweg消失定理は、kltまたは単純な交差正則性の仮定の下で成り立つ。
• Kollárの単射定理は、等特異性零における優れたスキーム上のklt対へと拡張可能であり、$$f$$-半正則な$$M$$に対して、$$R^if_*\mathcal{O}_X(N) \to R^if_*\mathcal{O}_X(N+D)$$の単射性が成り立つ。
• Zariski–Riemann空間上の極限を用いた有理的特異点および擬有理的性の特徴付けが、特異点の解消に依存しない形で確立された。
• 消失定理は、局所的にMoishezonな代数的空間、準優れた形式的スキーム、および複素解析的空間の半解析的局所環へと拡張された。
• $$R \to R'$$を$$\mathbf{Q}$$-代数上の循環的純写像とし、$$R'$$が擬有理的であれば$$R$$も擬有理的であることを証明し、Boutotの予想およびSchoutensの問いを肯定的に解決した。
• 結果を応用して、$$\mathbb{C}$$を残渣体とする次元$$\leq 4$$の完全局所UFDが、双対複体にややきつい仮定を課せばGorensteinであることを示した。