[論文レビュー] Remarks on Localizing Futaki-Morita Integrals At Isolated Degenerate Zeros

Luke Cherveny|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Grothendieckの残差とべき級数展開を用いてFutaki-Morita積分の閉じた形の公式を導出し、特異的で孤立した退化零点を持つ正則ベクトル場に対してBottの局在定理を拡張する。主な貢献は、$ℝ\mathrm{P}^n$ 上の最大退化零点における不変量を一様に明示的な公式で与えることであり、固定点の和を取る必要がなくなり、特殊な場合に既知の結果が回復されることを示している。

ABSTRACT

In this note we study the localization of Futaki-Morita integrals at isolated degenerate zeros by giving a streamlined exposition in the spirit of Bott and implement the localization procedure for a holomorphic vector field on $CP^n$ with a maximally degenerate zero, giving an essentially unique formula for the Futaki-Morita integral invariants without using a summation over multiple points. In a coming paper we will apply similar calculations to the Calabi-Futaki invariant of a Kähler blowup.

研究の動機と目的

• 正則ベクトル場が孤立した退化零点を持つ場合、標準的な非退化仮定が成り立たない状況において、Bottの局在定理を一般化すること。
• Futaki-Morita積分の計算において複数の固定点の和を取る必要をなくし、一様でグローバルな公式を導出すること。
• 特に退化零点の状況を想定した複素幾何における局在化技術の簡潔で自己完結的な解説を提供すること。
• Kähler多様体のブ lows-up におけるFutaki不変量の計算の基盤を築くこと、ここでは自然に退化零点が生じる。
• 最大退化ベクトル場を用いた$ℝ\mathrm{P}^n$ 上での明示的計算を通じて、公式の有効性を示すこと。

提案手法

• 曲率および自己準同型項のべき級数展開を用いて、Futaki-Morita積分にBottのトランスグレッション議論を適用する。
• Bochner-MartinelliカーネルによるGrothendieckの残差表現を用い、積分を孤立した退化零点における残差として表現する。
• 局所零点構造を符号化する行列$B$に関する$φ(DX) \det B$の高階偏導関数を原点で計算することで、一般公式（定理1.3）を導出する。
• 強いヒルベルトのゼロ点定理により保証されるように、ベクトル場の局所方程式$z_i^{\alpha_i+1} = \sum B_{ij} X_j$から行列$B$を明示的に構成する。
• 最大退化正則ベクトル場を用いた$ℝ\mathrm{P}^n$ 上への適用を通じて、公式を検証する。単項式の再帰的因数分解を用いる。
• 行列式の恒等式および微分の評価を用いて最終的な式を簡略化し、$z=0$ での非消える項を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点の和を取らずに、孤立した退化零点においてFutaki-Morita積分を局在化することは可能か？
• RQ2 零点が最大退化である場合、たとえば$ℝ\mathrm{P}^n$ 上で、局在化公式の正確な形は何か？
• RQ3 正則ベクトル場の文脈において、退化零点集合へのGrothendieckの残差形式主義はどのように拡張されるか？
• RQ4 この公式は、$ℝ\mathrm{P}^n$ 上でのオイラー特性数や第一チャーン類積分といった既知の不変量を回復できるか？
• RQ5 持ち上げたベクトル場が例外除集合に退化零点を持つ場合、ブロー・アップにおけるFutaki不変量の振る舞いはいかなるものか？

主な発見

• 新規の局在化公式（定理1.3）により、固定点の和を取らずにFutaki-Morita積分が退化零点における一様な閉形式の微分表現として与えられる。
• $ℝ\mathrm{P}^n$ 上の最大退化ベクトル場に対して、公式は${n+k \choose n} f_\phi(X) = \frac{(-1)^{n+k}}{n!} \left( \frac{\partial^n \phi(DX)}{\partial z_1^n} + \sum_{j=2}^n \frac{\partial}{\partial z_1^n \partial z_j} (\phi(DX) \cdot z_1^j) \right) \big|_{z=0}$ を与え、命題4.1で示されている。
• $ℝ\mathrm{P}^n$ のオイラー特性数が正しく$n+1$ として計算され、既知の位相的性質と整合していることが確認された。
• 第一チャーン類積分$\int_{\u211d\mathrm{P}^n} c_1^n$ は$(n+1)^n$ に評価され、Chern-Weil理論による期待値と一致する。
• $\phi(A) = [\operatorname{Tr}(A)]^{n+1}$ の場合、Futaki不変量は0に消える。これはFubini-Study計量下での$ℝ\mathrm{P}^n$ のKähler-Einstein性と整合する。
• $\phi(A) = \operatorname{Tr}(A) \det A$ の場合、公式は0を正しく与え、Futakiによるこのような不変量の消える性質を確認する。