[論文レビュー] Remarks on the nonequivariant coherent-constructible correspondence for toric varieties

David Treumann|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的なゾノトープ的トーリック多様体に対して、非不変な一貫的・構成可能対応を確立する。具体的には、このような多様体上の完全複体の導来圏が、特定のラグランジュ部分多様体に特徴的特徴を持つトーラス上の構成可能層の圏と準同型的であることを示す。主な結果は、ゾノトープ的ファンの幾何と階層的層理論を用いて、この設定においてボンダルの予想を裏付けるものである。

ABSTRACT

We prove the following result of Bondal's: that there is a fully faithful embedding $κ$ of the perfect derived category of a proper toric variety into the derived category of constructible sheaves on a compact torus. We compare this result to a torus-equivariant version considered in joint work with Fang, Liu, and Zaslow. There we showed that in the torus-equivariant version the image of the embedding is cut out by microlocal conditions. To establish a similar characterization of the image of $κ$ is an open problem.

研究の動機と目的

• 特定のトーリック多様体において、非不変な一貫的・構成可能対応が同値であるかどうかを検証すること。
• 層論的技法を用いて、不変な一貫的・構成可能対応を非不変な設定に拡張すること。
• 非不変埋め込みの像を、特定のラグランジュ部分多様体に特徴的特徴を持つ層として同定すること。
• 非不変対応がdg圏の準同型的同値となる条件を確立すること。
• 滑らかで射影的なゾノトープ的トーリック多様体において、特徴的特徴条件がホイットニーの階層的分割の特徴的特徴と一致することを証明すること。

提案手法

• M_{\mathbb{R}}/M 上での商構成を用いて、不変枠組みからの $\theta$-層 $\bar{\theta}(\tau)$ および $\bar{\theta}'(\tau)$ の非不変版を構成する。
• ファンの組合せ論とその双対を符号化するため、poset $\Gamma(\Sigma,M)$ の商としてカテゴリ $\mathbf{C}(\Sigma)_{\mathsf{R}}$ を定義する。
• 不変層を非不変設定に下げるために、忘却関手 $\mathrm{forg}: \mathcal{Q}_T(X) \to \mathcal{Q}(X)$ を用いる。
• 構成可能層と特徴的特徴の理論を適用し、埋め込み $\bar{\kappa}$ の像を $\tilde{\Lambda}_\Sigma \subset T^*(\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n)$ に特徴的特徴を持つ層として同定する。
• ファンの双対である超平面配置によって誘導されるホイットニーの階層的分割 $\mathcal{H}$ を用い、ユニモジュラーなゾノトープ的ファンでは $\Lambda_\mathcal{H} = \Lambda_\Sigma$ が成り立つことを示す。
• コストタンダード層が $M_{\mathbb{R}}$ 上のものから $M_{\mathbb{R}}/M$ 上のものに引き上げられ、それらが不変関手 $\kappa$ の像にあることから、本質的全射性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的なゾノトープ的トーリック多様体において、非不変な一貫的・構成可能対応は同値であるか？
• RQ2 非不変埋め込み $\bar{\kappa}$ の像は、$\tilde{\Lambda}_\Sigma$ に特徴的特徴を持つ層として特徴付けられるか？
• RQ3 ゾノトープ的ファンにおいて、ホイットニーの階層的分割 $\mathcal{H}$ の特徴的特徴は $\Lambda_\Sigma$ と一致するか？
• RQ4 非不変対応が完全かつ本質的に全射となる条件は何か？
• RQ5 ファンのユニモジュラリティは、$\Lambda_\mathcal{H} = \Lambda_\Sigma$ の成立とどのように関係するか？

主な発見

• 非不変埋め込み $\bar{\kappa}: \mathrm{Perf}(X) \to \mathrm{Sh}_c(\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n, \tilde{\Lambda}_\Sigma)$ は完全であり、不変の場合の結果を非不変設定に拡張する。
• 滑らかで射影的なゾノトープ的トーリック多様体において、特徴的特徴条件 $\tilde{\Lambda}_\Sigma$ は、双対超平面配置によって誘導されるホイットニーの階層的分割 $\mathcal{H}$ の特徴的特徴 $\Lambda_\mathcal{H}$ と一致する。
• $\Lambda_\mathcal{H} = \Lambda_\Sigma$ は、ファンがユニモジュラーである場合に限り成立し、そのとき各交差点におけるレイトス生成子が $\mathbb{Z}$-基底をなす。
• $\mathrm{Sh}_c(\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n, \tilde{\Lambda}_\Sigma)$ は、階層的分割 $\mathcal{H}/M$ のストラトゥムに関連するコストタンダード層によって生成される。
• コストタンダード層が $M_{\mathbb{R}}$ 上で不変関手 $\kappa$ の像にあることから、それらの $M_{\mathbb{R}}$ への押し出しは $\bar{\kappa}$ の像に属し、本質的全射性が証明される。
• 滑らかで射影的なゾノトープ的トーリック多様体において、対応 $\bar{\kappa}$ はdg圏の準同型的同値であることが示され、ボンダルの予想がこの場合に確認された。