[論文レビュー] Wrapped microlocal sheaves on pairs of pants

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 49

ひとこと要約

本稿では、 wrapped Fukaya 圈類に類似した微局所的類似物として、wrapped microlocal sheaves を導入し、高次元のパンツのペアに対して、行列因子を用いた Landau-Ginzburg B-モデルとにおける同値性を確立する。この構成により、非コンパクトかつ高次元の設定へのミラー対称性の一般化が達成され、微局所的枠組みにおける無限小圏と wrapped 圈類の双対性が裏付けられる。

ABSTRACT

Inspired by the geometry of wrapped Fukaya categories, we introduce the notion of wrapped microlocal sheaves. We show that traditional microlocal sheaves are equivalent to functionals on wrapped microlocal sheaves, in analogy with the expected relation of infinitesimal to wrapped Fukaya categories. As an application, we calculate wrapped microlocal sheaves on higher-dimensional pairs of pants, confirming expectations from mirror symmetry.

研究の動機と目的

• wrapped Fukaya 圈類の微局所的類似物として、wrapped microlocal sheaves を定義すること。
• 高次元パンツに対して、ホモロジー的ミラー対称性の同値性を確立すること。
• 従来の微局所的 sheaves が、wrapped microlocal sheaves 上の汎関手と同値であることを確認し、Fukaya 圈類における無限小圏と wrapped 圈類の双対性を模倣すること。
• 微局所的 sheaf 理論を用いて、既存のミラー対称性結果をコンパクトでない、高次元の状況へ一般化すること。

提案手法

• 本稿は、双曲的制限関手と微局所化関手を用いて、余接束の鋭錐的開部分空間上に wrapped microlocal sheaves を構成する。
• ラグランジュスケルトン上の dg 圈類のコシェーブを用い、滑らかな点において局所的に完全 $k$-加群と同値な構造を持つ。
• 理論は、分岐貼り合わせと降下技術を用いて、正確なシンプレクティック曲面および高次元パンツに適用される。
• 主な技術的道具は、$T^{n+1}$ 上の層から $T^I$ 上の層へ関連付ける双曲的制限関手 $\eta_I$ であり、これが微局所化と可換であることが示される。
• 関手の合成と dg 圈類の折りたたみを用いて、同値性 $\mu\mathit{Sh}^w_{\Lambda_{n+1}}(\Omega_{n+1})_{\mathbb{Z}/2} \simeq \operatorname{MF}(\mathbb{A}^{n+2}, W_{n+2})$ が確立される。
• 構成は、$\mathit{Sh}^\diamondsuit$ と $\mu\mathit{Sh}^\diamondsuit$ を用いた関手的枠組みに依存し、インデックス集合の包含に関して自然な整合性を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微局所的枠組みにおいて、wrapped Fukaya 圈類の構造を模倣するように、wrapped microlocal sheaves をどのように定義できるか？
• RQ2 従来の微局所的 sheaves と wrapped microlocal sheaves の間の正確な関係は何か？ そして、Fukaya 圈類における無限小圏と wrapped 圈類の双対性を模倣しているか？
• RQ3 微局所的 sheaf 理論を用いて、パンツのホモロジー的ミラー対称性同値性を、非コンパクトかつ高次元の状況へ拡張できるか？
• RQ4 高次元パンツ上の wrapped microlocal sheaves と、Landau-Ginzburg B-モデルの超ポテンシャル $W_{n+2}$ の行列因子との間に、自然な同値性が存在するか？
• RQ5 双曲的制限関手と微局所化との間には、wrapped microlocal sheaves の構成においてどのような関係があるか？

主な発見

• 高次元パンツ上の wrapped microlocal sheaves は、$\mathbb{A}^{n+2}$ 上の超ポテンシャル $W_{n+2}$ の行列因子によって与えられる Landau-Ginzburg B-モデルと同値である。
• 関手の合成と dg 圈類の折りたたみを用いて、同値性 $\mu\mathit{Sh}^w_{\Lambda_{n+1}}(\Omega_{n+1})_{\mathbb{Z}/2} \simeq \operatorname{MF}(\mathbb{A}^{n+2}, W_{n+2})$ が確立される。
• 従来の微局所的 sheaves が、wrapped microlocal sheaves 上の汎関手と同値であることが示され、無限小圏と wrapped 圈類の間の期待される双対性が裏付けられる。
• 双曲的制限関手 $\eta_I$ は、$T^{n+1}$ 上の層と $T^I$ 上の層との間の自然な橋渡しを提供し、微局所化と合成することで同値性が得られる。
• 穿孔付き球面において理論が検証され、[2] で知られているミラー対称性の結果が、微局所的枠組みで回復される。
• wrapped microlocal sheaf コシェーブ $\mu\mathit{Sh}^w_\Lambda$ は、サポートラグランジュアン $\Lambda$ のストラタ上で定数であり、スターブが完全 $k$-加群と同値である。