[論文レビュー] Renormalizability of Topologically Massive Gravity

Ichiro Oda|ArXiv.org|May 11, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、スカラーモードのBRST不変な赤外正則化と、新しいマスの重力に由来する微分同型不変で高階微分の紫外正則化を導入することにより、3次元におけるトポロジカル的質量重力（TMG）が正則化可能であることを証明している。正則化はパワー・カウンティング正則化性を保証し、発散は局所的でBRST不変であり、ニュートン定数とチャーン・シモンズ結合パラメータの正則化によって吸収可能であることが示された。

ABSTRACT

We consider renormalizability of topologically massive gravity in three space-time dimensions. With a usual parametrization of the metric tensor, we establish the statement that topologically massive gravity is in fact renormalizable. In this proof, we make use of not only a recently found, new infrared regularization method of scalar mode but also a covariant ultraviolet regulator with a specific combination of higher derivative terms which is motivated by the new massive gravity in three dimensions.

研究の動機と目的

• トポロジカル的質量重力（TMG）が、パリティを破るチャーン・シモンズ項と質量のある重力子を有する3次元時空における理論として、正則化可能であることを確立すること。
• リーマン・クリヴォのテンソルの存在により次元正則化が不可能であるため、長年の課題であったTMGに対するゲージ不変で一貫性のある紫外正則化の構築を解決すること。
• 最近開発されたBRST不変な赤外正則化法（以前は新しいマスの重力で使用された）をTMGに適応し、スカラーモードを扱い、質量ゼロ極限での一貫性を保証すること。
• 高エネルギー行動を抑制し、プロパゲーターに余分なスカラーモードを導入しない、8階微分項を含む共変的・高階微分のUV正則化を提案すること。
• すべての表面的発散を持つ1ループ振幅が局所的でBRST不変であり、カウンタ項によって吸収可能であることを示し、正則化可能性を確認すること。

提案手法

• 標準的な計量パラメータ化を採用し、ストゥッケルベルク形式を用いてBRST不変なパウリ＝ファイエルツ質量項を構築することで、滑らかな質量ゼロ極限を可能にする。
• 新しい高階微分正則化作用 $ S_{\bar{\rho}} = \frac{1}{\kappa^2 \Lambda^6} \int d^3x \sqrt{-g} \left( R_{\mu\nu} \Box_g^2 R^{\mu\nu} - \frac{3}{8} R \Box_g^2 R \right) $ を導入し、高運動量で $ \mathcal{O}(p^{-8}) $ のプロパゲーター減衰を保証する。
• ゲージ固定されたBRST不変作用から得られるプロパゲーターを用いて、表面的発散度 $ \omega(\gamma) $ を計算し、$ L \geq 2 $ で負になることを示し、1ループ発散のみが存在することを示す。
• ループ数 $ L $ を用いて $ \omega(\gamma) $ を表すためのループ数式 $ L = I_E + I_G - n_R - n_{GCS} - n_\Lambda - n_G - n_K - n_L + 1 $ を適用し、$ \omega(\gamma) = 8 - 5L - \cdots $ を得て、パワー・カウンティング正則化性を確認する。
• 発散するカウンタ項の形を $ S_{\text{counter}} = \int d^3x \left[ a_1 \sqrt{-g} + a_2 \sqrt{-g} R + a_3 \varepsilon^{\lambda\mu\nu} \Gamma_{\lambda\sigma}^\rho (\partial_\mu \Gamma_{\rho\nu}^\sigma + \frac{2}{3} \Gamma_{\mu\tau}^\sigma \Gamma_{\nu\rho}^\tau) \right] $ と特定し、局所的でBRST不変であることを示す。
• 発散はニュートン定数、チャーン・シモンズ結合パrameter $ \mu $、および宇宙定数の正則化によって完全に吸収可能であることを確立し、正則化可能性の証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・クリヴォのテンソルの存在により次元正則化が不可能であるため、3次元におけるトポロジカル的質量重力（TMG）が、ゲージ不変な紫外正則化が存在しないにもかかわらず、正則化可能であることを証明できるか？
• RQ2 新しいマスの重力で使用されたBRST不変な赤外正則化法を、TMGに成功裏に適応できるか。これによりスカラーモードが取り扱われ、質量ゼロ極限での一貫性が保証されるか？
• RQ3 高階微分の、微分同型不変な紫外正則化が存在するか。高エネルギー発散を抑制し、余分なスカラーモードを導入しないか？
• RQ4 TMGにおける発散する量子補正項が局所的でBRST不変であり、かつ次元が3以下であるか。これにより、標準的なカウンタ項によって吸収可能であるか？
• RQ5 TMGと新しいマスの重力の両方で共通して見られる高階微分項における共形不変性が、3次元量子重力の正則化可能性にとって本質的であるか？

主な発見

• 表面的発散度 $ \omega(\gamma) $ は、すべての2ループ以上の図形で負であるため、発散するのは1ループ振幅のみであり、次元正則化で取り扱えることが示された。
• 提案された高階微分正則化 $ S_{\Lambda} $ は、高運動量で重力子プロパゲーターが $ \mathcal{O}(p^{-8}) $ に減少するようにし、パワー・カウンティング正則化性を保証した。
• 発散するカウンタ項は局所的でBRST不変であり、次元3以下であることが判明し、$ S_{\text{counter}} = \int d^3x \left[ a_1 \sqrt{-g} + a_2 \sqrt{-g} R + a_3 \varepsilon^{\lambda\mu\nu} \Gamma_{\lambda\sigma}^\rho (\partial_\mu \Gamma_{\rho\nu}^\sigma + \frac{2}{3} \Gamma_{\mu\tau}^\sigma \Gamma_{\nu\rho}^\tau) \right] $ の形をとった。
• 発散はニュートン定数、チャーン・シモンズ結合パラメータ $ \mu $、および宇宙定数の正則化によって完全に吸収可能であり、TMGが正則化可能であることを確認した。
• 証明は、BRST対称性とBRST不変な赤外正則化に強く依存しており、以前のTMGの正則化可能性の証明に向けた主要な障害を解消した。
• TMGと新しいマスの重力の両方で共通する高階微分項における共形不変性が、3次元量子重力における正則化可能性の鍵となる可能性があると特定された。