[論文レビュー] Repeated Fair Allocation of Indivisible Items

Ayumi Igarashi, Martin Lackner+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2023

Game Theory and Voting SystemsEconomics, Econometrics and Finance被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分割不能な財および雑務の繰り返し公平配分のための新しいモデルを導入し、繰り返し回数が参加者数の倍数である場合、比例的かつパレート最適な配分が常に存在することを示している。2名の参加者で偶数回のラウンドを行う場合、絶対的 envy-free かつパレート最適な配分列が達成可能であり、EF1 や1つのアイテムを除いて弱い envy-freeness といった強いラウンド単位の公平性保証も得られる。

ABSTRACT

The problem of fairly allocating a set of indivisible items is a well-known challenge in the field of (computational) social choice. In this scenario, there is a fundamental incompatibility between notions of fairness (such as envy-freeness and proportionality) and economic efficiency (such as Pareto-optimality). However, in the real world, items are not always allocated once and for all, but often repeatedly. For example, the items may be recurring chores to distribute in a household. Motivated by this, we initiate the study of the repeated fair division of indivisible goods and chores, and propose a formal model for this scenario. In this paper, we show that, if the number of repetitions is a multiple of the number of agents, there always exists a sequence of allocations that is proportional and Pareto-optimal. On the other hand, irrespective of the number of repetitions, an envy-free and Pareto-optimal sequence of allocations may not exist. For the case of two agents, we show that if the number of repetitions is even, it is always possible to find a sequence of allocations that is overall envy-free and Pareto-optimal. We then prove even stronger fairness guarantees, showing that every allocation in such a sequence satisfies some relaxation of envy-freeness. Finally, in case that the number of repetitions can be chosen freely, we show that envy-free and Pareto-optimal allocations are achievable for any number of agents.

研究の動機と目的

• 繰り返し配分における公平性と効率性の基準を、ラウンド単位と全体として区別する新しいモデルを形式化すること。
• 配分の系列全体において、公平性（envy-freeness、比例性）と効率性（パレート最適性）が同時に達成可能かどうかを調査すること。
• 繰り返し回数が固定または可変である場合の、公平性と効率性のトレードオフを探索すること。
• 特に2名の参加者や、繰り返し回数が可変である任意の参加者数に対して、envy-free かつパレート最適な配分列が存在する条件を特定すること。
• 分数的および確率的配分を理論的道具として用いることで、分割不能と分割可能な公平配分の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 配分列の全体的およびラウンド単位の公平性・効率性を評価する、繰り返し配分の形式的モデルを提案する。
• 分数的または確率的配分を離散的配分の系列に変換するための「繰り返し翻訳（repeated translation）」の概念を導入する。
• 分数的配分を理論的基盤として用い、分数的設定におけるパレート最適性および envy-freeness が、繰り返し離散的設定における同等の性質を示すことの証明を行う。
• 補題21を適用し、任意の envy-free かつパレート最適な分数的配分が、ラウンド単位で PROP[1,1] の保証を持つ確率的配分として実装可能であることを示す。
• 有理確率を持つ確率的配分を、有限回のラウンドにわたる離散的配分の系列に変換する翻訳メカニズムを用いる。
• 繰り返し回数が可変である場合、分割可能な公平配分の理論的関係を活用し、PO および EF の分数的配分が存在するならば、PO および EF の繰り返し配分列が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、全体として envy-free かつパレート最適な配分列が存在するか？
• RQ2 繰り返し配分において、全体としてのパレート最適性と併せて、強力なラウンド単位の公平性保証（例：EF1 または1つのアイテムを除いて弱い envy-freeness）を達成できるか？
• RQ3 繰り返し回数が固定されている場合、envy-free およびパレート最適な繰り返し配分が達成可能か？
• RQ4 繰り返し回数を選べる能力が、強力な公平性および効率性の保証の達成可能性に与える影響は？
• RQ5 分割可能と分割不能な公平配分の間の関係を活用して、望ましい性質を持つ繰り返し配分を構築可能か？

主な発見

• 繰り返し回数 $k$ が参加者数 $n$ の倍数である場合、常に比例的かつパレート最適な配分列が存在する。
• 参加者数 $n > 2$ で、$k$ が $n$ で割り切れない固定の繰り返し回数の場合、全体としての比例的配分が存在しない可能性があり、これは倍数条件の必要性を示している。
• 参加者数 $n > 2$ で任意の固定 $k$ に対して、雑務配分のインスタンスにおいて、envy-free かつパレート最適な配分列が存在しない例が存在し、これは根本的な制限を示している。
• 2名の参加者と偶数回のラウンドの場合、常に全体として envy-free かつパレート最適な配分列が存在し、かつラウンド単位で1つのアイテムを除いて弱い envy-freeness を満たす。
• 2ラウンドの場合、ラウンド単位の公平性保証を EF1（envy-freeness up to one item）に強化でき、このような配分は多項式時間で計算可能である。
• 繰り返し回数 $k$ を自由に選べる場合、任意の参加者数に対して、envy-free かつパレート最適であり、かつラウンド単位で PROP[1,1] の保証を持つ配分が常に存在する。これは、分数的配分の確率的実装によって達成される。