[論文レビュー] Replicating of binary operads, Koszul duality, Manin products and average operators

Jun Pei, Chengming Bai+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、二項代数的構造の複製を二重化子と三重化子を用いて行う一般化されたオペラッド的枠組みを提示し、それが二項二次的オペラッドにおける後続子とKoszul双対であり、PermまたはComTriassとのManinホワイト積と同値であることを示している。平均作用素がこれらの複製子を誘導することを確立し、二重代数的、三重代数的、および双代数的代数の構成を一つのオペラッド的メカニズムで統一している。

ABSTRACT

We consider the notions of the replicators, including the duplicator and triplicator, of a binary operad. As in the closely related notions of di-Var-algebra and tri-Var-algebra in [14], they provide a general operadic definition for the recent constructions of replicating the operations of algebraic structures. We show that taking replicators is in Koszul dual to taking successors in [3] for binary quadratic operads and is equivalent to taking the white product with certain operads such as Perm. We also relate the replicators to the actions of average operators.

研究の動機と目的

• 二項代数的構造における操作の複製を、既知の構成（例えば二重代数的や三重代数的代数）を拡張する一般化されたオペラッド的定義を提供すること。
• 二項二次的オペラッドにおける複製子（二重化子／三重化子）と後続子の間の双対性を確立し、特にKoszul双対性の下で示すこと。
• 複製子構成をManinホワイト積に関連づけ、元のオペラッドとPermまたはComTriassオペラッドとの積と同値であることを示すこと。
• 複製子と平均作用素との関係を結びつけ、三重平均作用素が特定の操作定義を通じて三重化子代数を誘導することを示すこと。
• 既存の構造（例えばdi-Var代数、tri-Var代数、双代数的タイプの代数）を、一つのオペラッド的枠組み内で統一的かつ一般化すること。

提案手法

• ラベル付き木の操作を用いて、平面上の二分木上で二重化子と三重化子を定義し、代数的構造における操作の複製を一般化する。
• 元のオペラッドと木の複製則に基づく関係によって生成される商として、二重化子および三重化子オペラッドを構成する。
• Koszul双対性を用いて、二項二次的オペラッドの二重化子が、その双対オペラッドの後続子とKoszul双対であることを示す。
• 元のオペラッドとPerm（二重化子の場合）またはComTriass（三重化子の場合）とのホワイト積との間の同型を確立する。
• 平均作用素（二重平均および三重平均）を定義し、それらの作用が、関係を保存する写像ηを介して複製子オペラッドから代数的構造への準同型を誘導することを示す。
• 複製子オペラッドの関係が、元の関係と平均作用素の公理によって生成されるイデアル内に写されるかどうかを検証することで、写像ηがwell-definedなオペラッド準同型を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項オペラッドにおける代数的構造の操作の複製という概念を、一般化されたオペラッド的枠組みでどのように形式化できるか？
• RQ2 二項二次的オペラッドにおける複製子（二重化子／三重化子）と後続子の構成との間のKoszul双対関係は何か？
• RQ3 複製子はどのようにManinホワイト積に関連づけられるか？この関係性は、二重代数的や三重代数的代数といった既知の代数を特徴づけるのに利用可能か？
• RQ4 平均作用素（二重平均および三重平均）が、与えられた代数にどのようにして複製子代数の構造を誘導するか？
• RQ5 この複製子構成は、先行研究で導入されたdi-Var代数やtri-Var代数の概念と同値であるか？どのような条件下で同値となるか？

主な発見

• 二項オペラッドにおける二重化子および三重化子の構成は、その双対オペラッドにおける後続子構成とKoszul双対であり、オペラッド的枠組みにおいて根本的な双対性を確立している。
• 二項二次的オペラッドの二重化子はPermオペラッドとのホワイト積と同型であり、三重化子はComTriassオペラッドとのホワイト積と同型である。
• 複製子オペラッドから代数的構造への写像ηは、well-definedなオペラッド準同型を誘導する。これは、平均作用素が複製子代数を生み出すことを証明している。
• 任意のP代数Aが重み1の三重平均作用素Pを持つとき、x ·j y = x∘jP(y)、x ⊣j y = P(x)∘jy、x ⊢j y = x∘jy と定義すると、AはTdu(P)-代数となる。
• この構成は既存の代数を一般化する：結合的代数における三重平均作用素は結合的三重代数を生み出し、Lie代数では三重Leibniz代数を生み出す。
• この枠組みは、Lie、可換、およびpre-Lieなどのさまざまなオペラッドにおける二重・三重型代数を統一し、複製子が操作の複製を普遍的に行うメカニズムであることを示している。