[論文レビュー] Representation Homology, Lie Algebra Cohomology and Derived Harish-Chandra Homomorphism

Yuri Berest, Giovanni Felder+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Koszul双対性を介して、結合的代数およびリー代数の表現スキームとリー代数（余）ホモロジーの間の深いホモロジー的双対性を確立し、古典的表現論を一般化する準同型写像の同値性に関する予想としての導来ハリッシュ＝チャンドラ同型写像を導入する。導出された表現スキームのホモロジーが、現在のリー余代数のChevalley-Eilenbergホモロジーに同型であることを証明し、Macdonald恒等式のホモロジー的解釈を提供するとともに、古典的ハリッシュ＝チャンドラ制限写像を導来設定に拡張する。

ABSTRACT

We study the derived representation scheme DRep_n(A) parametrizing the n-dimensional representations of an associative algebra A over a field of characteristic zero. We show that the homology of DRep_n(A) is isomorphic to the Chevalley-Eilenberg homology of the current Lie coalgebra gl_n^*(C) defined over a Koszul dual coalgebra of A. We extend this isomorphism to representation schemes of Lie algebras: for a finite-dimensional reductive Lie algebra g, we define the derived affine scheme DRep_g(a) parametrizing the representations (in g) of a Lie algebra a; we show that the homology of DRep_g(a) is isomorphic to the Chevalley-Eilenberg homology of the Lie coalgebra g^*(C), where C is a cocommutative DG coalgebra Koszul dual to the Lie algebra a. We construct a canonical DG algebra map Φ_g(a) : DRep_g(a)^G -> DRep_h(a)^W, which is a homological extension of the classical restriction homomorphism. We call Φ_g(a) a derived Harish-Chandra homomorphism. We conjecture that, for a two-dimensional abelian Lie algebra a, the derived Harish-Chandra homomorphism is a quasi-isomorphism, and provide some evidence for this conjecture. For any complex Lie algebra g, we compute the Euler characteristic of DRep_g(a)^G in terms of matrix integrals over G and compare it to the Euler characteristic of DRep_h(a)^W.This yields an interesting combinatorial identity, which we prove for gl_n and sl_n (for all n). Our identity is analogous to the classical Macdonald identity, and our quasi-isomorphism conjecture is analogous to the strong Macdonald conjecture proved by S.Fishel, I.Grojnowski and C.Teleman. We explain this analogy by giving a new homological interpretation of Macdonald's conjectures in terms of derived representation schemes, parallel to our Harish-Chandra quasi-isomorphism conjecture.

研究の動機と目的

• 結合的代数の表現ホモロジーとリー代数（余）ホモロジーの間の概念的関係を、Koszul双対性を用いて明確化すること。
• 新しいホモロジー的構成を介して、古典的ハリッシュ＝チャンドラ制限写像を導来設定に一般化すること。
• 2次元アーベルリー代数に対して導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像が準同型写像であるという予想を提示し、証拠を提供すること。
• 導出された表現スキームを用いて、Macdonaldの予想のホモロジー的解釈を確立すること。
• 不変導出された表現スキームのオイラー特徴標数を計算し、Macdonald恒等式に類似した新しい組合せ的恒等式を導出すること。

提案手法

• Koszul双対性を用いて、導出された表現スキーム $\mathrm{DRep}_n(A)$ を、$A$ のKoszul双対余代数 $\bar{C}$ に対応する現在のリー余代数 $\mathfrak{gl}_n^*(\bar{C})$ のChevalley-Eilenbergホモロジーと関連付ける。
• 古典的制限写像を拡張する、$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G \to \mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$ という自然なDG代数写像 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ を構成し、これを導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像と呼ぶ。
• リー代数のための導出された表現スキームの理論を適用し、$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ をリー代数 $\mathfrak{a}$ の $\mathfrak{g}$-表現をパラメトライズする導出スキームとして定義する。
• 再帰的群 $G$ 上の行列積分を用いて、$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ のオイラー特徴標数を計算し、$W$-不変の場合と比較する。
• 導出された表現スキームと導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像を関連付けることで、Macdonaldの予想に対する新しいホモロジー的解釈を確立する。
• 普遍的不変 $2$-テンソルおよびコトレース構成を用いて、$\mathrm{HC}_\bullet(\mathcal{P}, A) \to \mathrm{H}_\bullet(A, \mathfrak{C})$ というトレース写像 $\mathrm{Tr}_{\mathfrak{C}}$ を定義し、これが循環ホモロジーおよびリー理論における既知のトレース写像を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導出された表現スキーム $\mathrm{DRep}_n(A)$ のホモロジーは、現在のリー代数のChevalley-Eilenbergホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ2 リー代数 $\mathfrak{a}$ が2次元アーベルの場合、導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ は準同型写像であるか？
• RQ3 $G$-不変導出された表現スキーム $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ のオイラー特徴標数は、行列積分を用いて計算可能であり、$W$-不変の場合と比較可能か？
• RQ4 Koszul双対性は、表現ホモロジーとリー（余）ホモロジーの関係をどのように果たすか？
• RQ5 導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像は、導出代数幾何の文脈で、古典的ハリッシュ＝チャンドラ制限写像をどのように一般化するか？

主な発見

• 導出された表現スキーム $\mathrm{DRep}_n(A)$ のホモロジーは、$A$ のKoszul双対余代数 $\bar{C}$ に対応する現在のリー余代数 $\mathfrak{gl}_n^*(\bar{C})$ のChevalley-Eilenbergホモロジーに同型であり、[BKR]および[BR]の結果の概念的説明を提供する。
• 有限次元の再帰的リー代数 $\mathfrak{g}$ に対して、$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ のホモロジーは、リー代数 $\mathfrak{a}$ のKoszul双対 $\bar{C}$ に対応するリー余代数 $\mathfrak{g}^*(\bar{C})$ のChevalley-Eilenbergホモロジーに同型である。
• 導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ は、$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ から $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$ への自然なDG代数写像であり、古典的制限写像を一般化する。
• リー代数 $\mathfrak{a}$ が2次元アーベルの場合、$\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ が準同型写像であるという予想は、$\mathfrak{gl}_2$、$\mathfrak{sl}_2$ および $n \to \infty$ の帰納的極限において $\mathfrak{gl}_n$、$\mathfrak{sl}_n$、$\mathfrak{so}_n$、$\mathfrak{sp}_{2n}$ に対して証明により支持されている。
• 任意の複素再帰的リー代数 $\mathfrak{g}$ に対して、$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ のオイラー特徴標数は、群 $G$ 上の行列積分を用いて計算され、Macdonald恒等式に類似した新しい組合せ的恒等式が得られ、$\mathfrak{gl}_n$ および $\mathfrak{sl}_n$ に対して証明されている。
• 本稿は、導出されたハリッシュ＝チャンドラ同型写像の予想が強いMacdonald予想に類似していることから、Macdonaldの予想に対するホモロジー的解釈を確立し、オイラー特徴標数の比較から新しい恒等式が導かれる。