[論文レビュー] Representation homology of topological spaces

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、表現多様体の導来拡張として、位相的空間の表現ホモロジーを導入し、単体的群上の導来函手および関手ホモロジーを用いて、懸垂の表現ホモロジーと高次ホッホシュタイナー・ホモロジーとの間に同型を確立する。主な貢献として、ℝ³ 内のリンク補空間の表現ホモロジーが通常のホッホシュタイナー・ホモロジーと同型であることが特定され、リンクの新しい代数的不変量が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study representation homology of topological spaces, which is a natural homological extension of representation varieties of fundamental groups. We give an elementary construction of representation homology parallel to the Loday-Pirashvili construction of higher Hochschild homology; in fact, we establish a direct geometric relation between the two theories by proving that the representation homology of the suspension of a (pointed connected) space is isomorphic to its higher Hochschild homology. We also construct some natural maps and spectral sequences relating representation homology to other homology theories associated with spaces (such as Pontryagin algebras, $S^1$-equivariant homology of the free loop space and stable homology of automorphism groups of f.g. free groups). We compute representation homology explicitly (in terms of known invariants) in a number of interesting cases, including spheres, suspensions, complex projective spaces, Riemann surfaces and some 3-dimensional manifolds, such as link complements in $\R^3$ and the lens spaces $ L(p,q) $. In the case of link complements, we identify the representation homology in terms of ordinary Hochschild homology, which gives a new algebraic invariant of links in $\R^3$.

研究の動機と目的

• 基本群の表現多様体のホモロジー的拡張を開発し、特異点を扱い、アスフェリカル空間を超える適用範囲の制限を克服すること。
• Loday-Pirashviliの高次ホッホシュタイナー・ホモロジーにインspiredされた、導来函手および関手圏を用いた、表現ホモロジーの幾何学的・代数的枠組みを確立すること。
• 表現ホモロジーを他のホモロジー理論、例えばポントリャーギン代数、自由ループ空間のS¹-可換ホモロジー、および自由群の自己同型群の安定ホモロジーと関連付けること。
• 球面、懸垂、リーマン面、およびレンズ空間やリンク補空間を含む3次元多様体といった主要な空間について、表現ホモロジーを明示的に計算すること。
• リンク補空間の表現ホモロジーを通常のホッホシュタイナー・ホモロジーと同型とすることで、ℝ³ 内のリンクの新しい代数的不変量を構成すること。

提案手法

• 単体的群上の非アーベル的導来函手を用いて表現ホモロジーを定義し、古典的表現多様体を一般化する。
• Loday-Pirashviliの高次ホッホシュタイナー・ホモロジーの構成と類似する、関手圏における古典的ホモロジー代数の同等の定式化を提供する。
• 点付き連結空間の懸垂の表現ホモロジーとその高次ホッホシュタイナー・ホモロジーとの間の直接的な同型を確立する。
• 自由ループ空間のS¹-可換ホモロジーおよびAut(Fn)の安定ホモロジーへとつながる自然なスペクトル系列と写像を構成する。
• モデル圏論およびBousfield-Kan近似を用いてホモトピー余極限を導出し、左モデル近似の文脈における導来函手を確立する。
• 理論を具体化して、S^n、ΣX、ℂP^n、リーマン面、およびリンク補空間やレンズ空間L(p,q)といった特定の空間の表現ホモロジーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本群の表現多様体は、高次ホモトピー情報を捉えるホモロジー理論へどのように拡張可能か？
• RQ2 特に懸垂に関して、表現ホモロジーと高次ホッホシュタイナー・ホモロジーの正確な関係は何か？
• RQ3 表現ホモロジーは、ポントリャーギン代数や自由ループ空間のS¹-可換ホモロジーといった他の古典的ホモロジー理論と関連づけることができるか？
• RQ4 球面、射影空間、および3次元多様体といった主要な位相的空間について、表現ホモロジーの明示的計算は何か？
• RQ5 ℝ³ 内のリンク補空間の表現ホモロジーは、リンクの新しい代数的不変量をもたらすか。その場合、ホッホシュタイナー・ホモロジーとはどのように関係するか？

主な発見

• 点付き連結空間の懸垂の表現ホモロジーは、その高次ホッホシュタイナー・ホモロジーと同型であり、両理論の直接的な幾何的関係を確立する。
• ℝ³ 内のリンク補空間に関しては、表現ホモロジーが特定の代数の通常のホッホシュタイナー・ホモロジーと同型であり、リンクの新しい代数的不変量を提供する。
• 球面S^nおよび懸垂ΣXの表現ホモロジーは、ホッホシュタイナー・ホモロジーおよび導来函手を含む既知の不変量を用いて明示的に計算される。
• レンズ空間L(p,q)の表現ホモロジーは明示的に計算され、パrameter pおよびqに依存することが示される。
• リーマン面の表現ホモロジーは計算され、その基本群およびキャラクター多様体の幾何と関連することが示される。
• 自由ループ空間のS¹-可換ホモロジーおよびAut(Fn)の安定ホモロジーへつながるスペクトル系列および自然な写像が構成され、より深い構造的関係が明らかになる。