[論文レビュー] Representation of homothetic forward performance processes via ergodic and infinite horizon quadratic BSDE in stochastic factor models

Gechun Liang, Thaleia Zariphopoulou|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非完備な確率的要因モデルにおいて、エルゴディックおよび無限時間枠の2次後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて、同相似な前向きパフォーマンス過程の表現を導出する。リスクセンシティブ制御および漸近的価値関数との関連を確立し、長時間枠において従来の価値関数へ収束することを示す。

ABSTRACT

In an incomplete market, with incompleteness stemming from stochastic factors imperfectly correlated with the underlying stocks, we derive representations of homothetic forward investment performance processes (power, exponential and logarithmic). We develop a connection with ergodic and infinite horizon quadratic BSDE, and with a risk-sensitive control problem. We also develop a connection, for large trading horizons, with a family of traditional homothetic value function processes.

研究の動機と目的

• リスク資産と不完全に相関する確率的要因によって駆動される非完備市場における同相似な前向きパフォーマンス過程を特徴づけること。
• 前向きパフォーマンス過程とエルゴディックおよび無限時間枠の2次BSDEの解との間の関係を確立すること。
• 前向きパフォーマンスフレームワークをリスクセンシティブな確率的制御問題と結びつけること。
• 取引期間が無限大に近づく際の前向きパフォーマンス過程の漸近的挙動を分析すること。
• 長時間枠の極限において、前向きパフォーマンス過程が古典的な同相似価値関数過程に収束することを示すこと。

提案手法

• 確率的要因モデルにおける確率的終端条件を伴う2次BSDEの解として前向きパフォーマンス過程を定式化すること。
• 要因過程の適切なエルゴディック性仮定の下で、性能過程の長期的挙動をエルゴディックBSDE理論を用いて特徴づけること。
• 適切な可積分性および成長条件の下で、無限時間枠の2次BSDEの解の存在および一意性を確立すること。
• 動的プログラミング原理および検証論法を用いて、前向きパフォーマンス過程をリスクセンシティブ制御問題と結びつけること。
• 時間枠が発散する際の前向きパフォーマンス過程の漸近的展開を導出し、従来の価値関数への収束を示すこと。
• 同相似構造を用いてスケーリング性質により、無限次元の制御問題を有限次元の問題に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的要因がリスク資産と相関する非完備な確率的要因モデルにおける同相似な前向きパフォーマンス過程は、どのように表現できるか？
• RQ2 前向きパフォーマンス過程とエルゴディックおよび無限時間枠の2次BSDEの解との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 この設定において、前向きパフォーマンス過程はリスクセンシティブ制御問題とどのように関連するか？
• RQ4 取引期間が無限大に近づく際の前向きパフォーマンス過程の漸近的挙動は何か？
• RQ5 長時間枠の極限において、前向きパフォーマンス過程は古典的な同相似価値関数過程に収束するか？

主な発見

• 適切な要因過程の条件の下で、確率的要因モデルにおける同相似な前向きパフォーマンス過程は、無限時間枠の2次BSDEの解を用いて表現可能である。
• 適切な可積分性および非退化性仮定の下で、関連するエルゴディックおよび無限時間枠の2次BSDEの解の存在および一意性が確立される。
• 前向きパフォーマンス過程とリスクセンシティブ制御問題との間に深い関連が確立され、後者の価値関数がBSDEの解と関連づけられる。
• 取引期間が発散する際、前向きパフォーマンス過程は古典的な同相似価値関数過程に収束し、従来の動的プログラミングフレームワークとの整合性が確認される。
• 同相似構造のおかげで、前向きパフォーマンス問題はスケーリング性質により有限次元系に還元可能であり、基礎となる要因ダイナミクスに基づく明示的特徴づけが可能になる。
• 漸近的収束は、確率的要因に対してやや弱い正則性およびエルゴディック性条件のもとで成立することが示され、古典的結果が前向きパフォーマンス設定へと拡張される。