[論文レビュー] Representation theory of 2-groups on finite dimensional 2-vector spaces

Josep Elgueta|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、カプラノフとヴェドフスキーの複素2ベクトル空間の2カテゴリ― 2Matℂ における2群の表現理論を展開し、2群のホモトピー群と3次コホモロジー不変量を用いて表現の同値類を計算する。線形表現および置換表現が2表現カテゴリ―に完全に埋め込まれており、その射および合成ファンクターの明示的構成がなされている。

ABSTRACT

In this paper, the 2-category $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$ of (weak) representations of an arbitrary (weak) 2-group $\mathbb{G}$ on (some version of) Kapranov and Voevodsky's 2-category of (complex) 2-vector spaces is studied. In particular, the set of equivalence classes of representations is computed in terms of the invariants $π_0(\mathbb{G})$, $π_1(\mathbb{G})$ and $[α]\in H^3(π_0(\mathbb{G}),π_1(\mathbb{G}))$ classifying $\mathbb{G}$. Also the categories of morphisms (up to equivalence) and the composition functors are determined explicitly. As a consequence, we obtain the the {\it monoidal} category of linear representations (more generally, the category of $[z]$-projective representations, for any given cohomology class $[z]\in H^2(π_0(\mathbb{G}),\mathbb{C}^*)) of the first homotopy group $π_0(\mathbb{G})$ as well as its category of representations on finite sets both live in $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$, the first as the monoidal category of endomorphisms of the trivial representation (more generally, as the category of morphisms between suitable 1-dimensional representations) and the second as a subcategory of the homotopy category of $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$.

研究の動機と目的

• カプラノフとヴェドフスキーが定義した複素2ベクトル空間の2カテゴリ― 2Matℂ 内で2群の包括的な表現理論を構築すること。
• 任意の2群 𝔾 に対して、弱表現の同値類を、位相的不変量 π₀(𝐺)、π₁(𝐺)、および [α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺)) を用いて分類すること。
• 2表現カテゴリ―における1-射（干渉因子）および合成ファンクターのカテゴリ―を明示的に特定すること。
• π₀(𝐺) の線形表現のモノイダルカテゴリ―および有限集合上の置換表現のカテゴリ―を、そのホモトピーカテゴリ―の部分カテゴリ―として2表現カテゴリ―に埋め込むこと。
• π₀(𝐺) の有限集合表現のカテゴリ―から2表現のホモトピーカテゴリ―への2ファンクターを確立し、対象上で完全かつ忠実であるが、射ではそうではないことを示すこと。

提案手法

• 2群のホモトピー群 π₀(𝐺) および π₁(𝐺)、および弱2群構造を同値類で分類する3次コホモロジークラス [α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺)) を用いた2群の分類を利用する。
• 2行列表現を通じて2群 𝔾 の 2Matℂ 上の表現を構成し、対象は標準的2ベクトル空間 ℂ の有限直和であり、射はベクトル空間の行列で与えられる。
• 2カテゴリ―構造に由来する整合性条件を満たす三つ組 (R, I, I) として、表現間の1-射を定義する。ここで R はベクトル空間の行列、I は恒等干渉因子である。
• 有限集合上の π₀(𝐺) の置換表現を用いて、R(f) が置換行列である関連する2行列表現を通じて2表現を構成する。
• π₀(𝐺) の有限集合表現のカテゴリ―から2表現のホモトピーカテゴリ―への2ファンクター F を確立し、各ペア (n, ρ) を2行列表現 ℝ_{n,ρ} に写像する。
• ホモトピーカテゴリ―上の誘導ファンクターが、対象上で本質的に単射的かつ完全忠実であるが、干渉因子の空間に次元制約があるため、射では完全でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2群 𝔾 がカプラノフとヴェドフスキーの2ベクトル空間上に持つ弱表現の同値類は、どのように分類できるか？
• RQ2 2表現カテゴリ―における1-射（干渉因子）および合成ファンクターの2カテゴリ―の明示的構造は何か？
• RQ3 線形表現 π₀(𝐺) は、自明な2表現の自己準同型としてどのように現れるか？
• RQ4 有限集合上の π₀(𝐺) の置換表現は2表現カテゴリ―に埋め込まれるか？ もしあるならば、どのように埋め込まれるか？
• RQ5 2群の2表現カテゴリ―とその基本群の表現のホモトピーカテゴリ―との関係は何か？

主な発見

• 2群 𝔾 が 2Matℂ 上に持つ弱表現の同値類の集合は、π₀(𝐺)、π₁(𝐺)、およびコホモロジー類 [α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺)) によって分類される。
• π₀(𝐺) の線形表現のモノイダルカテゴリ―は、自明な2表現の自己準同型のカテゴリ―として埋め込まれる。より一般には、[z]-射影表現は1次元表現間の射として現れる。
• 有限集合上の π₀(𝐺) の置換表現のカテゴリ―は、各 (n, ρ) を2行列表現 ℝ_{n,ρ} に写像する2ファンクター F を通じて、2表現カテゴリ―のホモトピーカテゴリ―に完全忠実に埋め込まれる。
• ホモトピーカテゴリ―上の誘導ファンクター Ho(F) は本質的に単射的であり、2表現カテゴリ―における同型な表現は、置換表現の同型に一致する。
• しかし Ho(F) は完全でない。これは、像内の1次干渉因子がラインバンドル（ランク1行列）に制限されているのに対し、一般の干渉因子は任意のランクを取れるためであり、像が完全な部分カテゴリ―ではないことを示している。
• 置換行列 R(f) を用いた1次干渉因子の明示的公式が与えられ、恒等干渉因子 I を用い、2コホモロジー類 β、β′ が自明であるとき、整合性条件が自明に満たされることを検証している。