[論文レビュー] Representation theory of W-algebras, II: Ramond twisted representations

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、f が良い偶数順序付けを持つ場合、アフィン W代数 𝒲ᵏ(ℊ̄,f) のラムド型ねじれ表現における BRST コホロロジーの消滅およびほぼ完全可約性を確立し、Kac と Wakimoto の予想を裏付ける。型 A では、非臨界レベルにおいてすべての非可約通常ラムド型ねじれ表現の特徴を特定し、[KW5] で予想されたモジュラー不変表現の存在を証明する。

ABSTRACT

We study the Ramond twisted representations of the affine W-algebra W^k(g,f) in the case that f admits a good even grading. We establish the vanishing and the almost irreducibility of the corresponding BRST cohomology. This confirms some of the recent conjectures of Kac and Wakimoto. In type A, our results give the characters of all irreducible ordinary Ramond twisted representations of W^k(sl_n,f) for all nilpotent elements f and all non-critical k, and prove the existence of modular invariant representations conjectured by Kac and Wakimoto.

研究の動機と目的

• f が良い偶数順序付けを持つ場合、アフィン W代数 𝒲ᵏ(ℊ̄,f) のラムド型ねじれ表現を研究すること。
• この設定において BRST コホロロジーの消滅およびほぼ完全可約性を確立すること。
• Kac と Wakimoto の [KW5] における予想 B、すなわち BRST コホロロジー関手の構造に関する予想を確認すること。
• 非臨界レベル k に対して、𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) のすべての非可約通常ラムド型ねじれ表現の特徴を特定すること。
• [KW5] で予想されたように、𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) のモジュラー不変表現の存在を証明すること。

提案手法

• アフィン Kac-Moody 代数 𝔤 のレベル k における表現から、𝒲ᵏ(ℊ̄,f) のラムド型ねじれ表現への BRST コホロロジー関手 H⁰ᴮᴿˢᵀ(⋅) を用いる。
• 頂点代数の σᴿ-ねじれ作用と整合するように、BRST複体にフィルトレーションを導入し、スペクトル系列の議論を適用する。
• 有限 W代数 𝒲ᶠⁱⁿ(ℊ̄,f) のホイットAKER関手と BRST コホロロジーの上部部分の同型に依拠する。
• 双対性および PBW 型同型を用いて、スペクトル系列の E¹ 項および E∞ 項を分析する。
• p+q≠0 のときスペクトル系列が E¹ で退化することを用い、非ゼロ次数におけるコホロロジーの消滅を導く。
• Brundan と Kleshchev による型 A における有限 W代数の結果を応用し、ほぼ完全可約性から完全可約性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f が良い偶数順序付けを持つ場合、ラムド型ねじれ表現の BRST コホロロジー H⁰ᴮᴿˢᵀ(M) が非ゼロ次数で消えるか？
• RQ2 上部部分が頂点代数の Zhu 代数上で非可約であるとき、BRST コホロロジーはほぼ完全可約か？
• RQ3 主なアービトリー表現 L(λ) に対する H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) のオイラー＝ポワンカーレ特徴は、型 A でモジュラー不変関数を与えるか？
• RQ4 すべての非可約通常ラムド型ねじれ表現 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) の特徴は、𝔤 の最高ウェイト表現の BRST 減少によって特定可能か？
• RQ5 モジュラー不変特徴を持つ表現は、Kac と Wakimoto が予想したように、実際に非可約ラムド型ねじれ表現であるか？

主な発見

• M が双対・ヴェルマ加群 M₀(λ)* のとき、すべての n≠0 に対して BRST コホロロジー Hⁿᴮᴿˢᵀ(M) が消える。これはスペクトル系列解析における消滅性の確認である。
• BRST コホロロジー H⁰ᴮᴿ Stokes(M₀(λ)*) はほぼ完全可約であり、型 A では、有限 W代数のホイットAKER関手の構造により、完全可約性が導かれる。
• 型 A では、すべての非可約通常ラムド型ねじれ表現 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) の特徴は、対応する 𝔤 の最高ウェイト表現 L(λ) の特徴によって与えられる。ただし k は臨界でないものとする。
• 主なアービトリー表現 L(λ) に対する H⁰ᴮᴿ Stokes(L(λ)) のオイラー＝ポワンカーレ特徴はモジュラー不変であり、[KW5] で予想されたような表現の存在を裏付ける。
• BRST コホロロジーの上部部分は、有限 W代数 𝒲ᶠⁱⁿ(ℊ̄,f) のホイットAKER加群と同型であり、BRST コホロロジーの研究を有限 W代数の表現論に還元する。
• 型 A では、𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) のすべての非可約通常ラムド型ねじれ表現は、ある非可約最高ウェイト表現 L(λ) の H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) として現れる。