[論文レビュー] Representations and geometric structures

Anna Wienhard|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})$ および $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{C})$ へのアノソフ表現を通じて、高ランクの対称空間に基づく幾何構造を検討する。境界写像を用いてラグランジュ・グラスマンニアンにおける不連続領域を構成し、アーンディ・デ・シッター空間における古典的な不連続領域を一般化する。また、アノソフ表現の連結成分および準等長的剛性に関する基礎的問題を提示する。

ABSTRACT

This note summarizes in an informal way some geometric properties of Anosov representations into the symplectic group, which were presented in a talk at the conference What is Next. The mathematical legacy of Bill Thurston, held in June 2014 in Cornell.

研究の動機と目的

• 高ランクの対称空間およびそれらに基づく多様体の幾何的直感を育成すること。ビル・サーストンの幾何的ビジョンにインspiredされる。
• 特にその力学的および幾何的性質に注目して、$\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})$ および $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{C})$ の離散部分群をアノソフ表現を通じて研究すること。
• アノソフ表現に対するラグランジュ・グラスマンニアン $\mathrm{Lag}(V)$ における不連続領域の構成と分析を行い、アーンディ・デ・シッター幾何における既知の構成を一般化すること。
• アノソフ表現の連結成分の構造およびその準等長的剛性の性質を調査すること。
• 実構造による複素ラグランジュ部分空間の分解と、その表現幾何への影響を理解すること。

提案手法

• ワードハイパーボリック群から $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})$ および $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{C})$ への $Q_i$-アノソフ表現の理論を、中心的な枠組みとして用いる。
• 境界写像 $\xi: \partial_\infty\Gamma \to \mathrm{Lag}(V)$ の像に非横断的であるラグランジュ部分空間の和集合の補集合として、不連続領域 $\mathcal{D}_\xi \subset \mathrm{Lag}(V)$ を構成する。
• 表現 $\rho = (\rho_1, \rho_2)$ が $\mathcal{D}_\xi$ に作用する際、横断性および等長性の条件を用いて、その作用が正しく不連続であることを示す。
• 実構造および交差次元 $\dim(W \cap \overline{W}) = i$ に基づき、$\mathrm{Lag}(V_{\mathbf{C}})$ を $\mathrm{Sp}(V,\omega)$-軌道 $\mathcal{R}_i$ に分解することを分析する。
• 幾何的モデルを理解するために、対称空間 $X_{\mathbf{R}}(n) \cong \mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})/\mathrm{U}(n)$ および $X_{p,q} \cong \mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})/\mathrm{U}(p,q)$ の同定に依拠する。
• $\mathrm{Lag}(V)$ が $\mathrm{Is}_n(V)$ にファイバーし、$\mathrm{Is}_i(V)$ が $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{K})$ の下で同次空間であり、安定化群が $Q_i(V)$ であるという事実に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成のワードハイパーボリック群 $\Gamma$ および非コンパクトな単純リー群 $G$ に対して、$\mathrm{Hom}(\Gamma, G)$ のすべての連結成分がアノソフ表現から成るような条件は何か？
• RQ2 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{K})$ に $Q_i$-アノソフ表現をもつ有限生成群のクラスは、準等長的剛性を示すか？
• RQ3 非コンパクトな単純リー群に任意のアノソフ表現をもつ有限生成群のクラスは、準等長的剛性を示すか？
• RQ4 $n \geq 2$ のとき、$\mathcal{D}_\xi \cap \mathcal{T}_0 \subset \mathrm{Lag}(V)$ の構造は何か？これは $n=1$ のときのアーンディ・デ・シッター空間における場合を一般化する。
• RQ5 $\mathrm{Hom}(\Gamma, G)$ の連結成分全体がアノソフ表現から成る背後にある共通の構造は何か？

主な発見

• 表現 $\rho = (\rho_1, \rho_2)$ が $Q_{2n}$-アノソフであるとき、集合 $\mathcal{D}_\xi \subset \mathrm{Lag}(V)$ への作用は正しく不連続であるが、共通にコンパクトではない。
• $n=1$ のとき、$\mathcal{D}_\xi \cap \mathcal{T}_0$ は、[Bar] で述べられ、メンスの構成に関連するアーンディ・デ・シッター空間における不連続領域に対応する。
• 複素ラグランジュ部分空間の空間 $\mathrm{Lag}(V_{\mathbf{C}})$ は、$\dim(W \cap \overline{W}) = i$ をインデックスとする $\mathrm{Sp}(V,\omega)$-軌道 $\mathcal{R}_i$ に分解され、$\mathcal{R}_n$ は唯一の閉軌道である。
• 各 $i$-次元の歪曲部分空間上のファイバーは、$\bigcup_{p'+q'=n-i} X_{p',q'}$ の直和と同型である。
• $\rho_1, \rho_2$ が $Q_n$-アノソフであるとき、積表現 $\rho = (\rho_1, \rho_2)$ は $Q_{2n}$-アノソフであるため、幾何的構造が保存される。
• $\mathcal{N}_\xi = \bigcup_{t \in \partial_\infty\Gamma} N_{\xi(t)}$ は、$\xi(t)$ と横断でないすべてのラグランジュ部分空間から成り、その補集合 $\mathcal{D}_\xi$ が不連続領域である。